仅用指定三条公理证明集合不等式：若x≠y，则对任意集合a，{a}≠{x,y}

我来接着你已经完成的推导往下走，咱们严格用给定的三条公理把证明补完：

你已经通过假设${a} = {x,y}$，结合配对公理和外延公理，推导出了**$a = x \lor a = y$**，这一步逻辑完全没问题。接下来咱们分两种情况讨论，最终导出矛盾：

情况1：假设$a = x$ #

根据配对公理，${x,y}$的定义是：对任意集合$u$，$u \in {x,y} \leftrightarrow (u = x \lor u = y)$。当$u=y$时，$y=x \lor y=y$是显然成立的真命题，因此可以直接得出**$y \in {x,y}$**。

而${a} = {x}$，同样根据配对公理（将$a$与自身配对构造单元素集），对任意集合$u$，$u \in {x} \leftrightarrow u = x$。

因为我们假设了${a} = {x,y}$，根据外延公理，两个集合相等当且仅当它们的成员完全相同——也就是说，所有属于${x,y}$的元素必须都属于${x}$。既然$y \in {x,y}$，那么$y$必须属于${x}$，这就意味着$y = x$，但题目明确给出$x \neq y$，矛盾。

情况2：假设$a = y$ #

这和情况1完全对称：根据配对公理，$x \in {x,y}$；而${a} = {y}$，所以$x$必须属于${y}$，即$x = y$，同样与$x \neq y$的前提矛盾。

两种情况都导出了矛盾，说明我们最开始的假设${a} = {x,y}$是不成立的。因此结论成立：当$x \neq y$时，对任意集合$a$，${a} \neq {x,y}$。

另外你提到的“无法严格证明$x \in {x,y}$”的疑问，其实这就是配对公理的直接推论——配对公理本身就给出了${x,y}$的成员判定规则，当$u=x$时，$x=x \lor x=y$是恒真命题，所以$x$必然属于${x,y}$，咱们手头的三条公理已经足够完成这个推导，不需要额外的$\in$定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1280900