关于有限完全群中$|IA_z(G)|$与$|Aut(G)|$是否相等的技术问询

大家好，我最近在研究群论里的自同构相关内容，遇到了一个困惑，想跟大家探讨下：

先明确两个核心定义：

• 对于群$G$，$IA(G):={ \alpha \in Aut(G):g^{-1}\alpha (g)\in G',\forall g\in G}$
• $IA_z (G):={ \alpha\in IA(G):\alpha (z)=z,\forall z\in Z(G)}$

现在假设$G$是有限完全群（即$G=G'$，群等于自身的换位子群），我想确认：$|IA_z (G)|=|Aut(G)|$是否成立？

我自己尝试推导了一部分：
因为$G$是完全群，所以$G=G'$，由此可得：
$$IA(G)={ \alpha \in Aut(G):g^{-1}\alpha (g)\in G'=G,\forall g\in G}=Aut(G)$$
毕竟任意自同构$\alpha$对应的$g^{-1}\alpha(g)$必然是$G$中的元素，所以$IA(G)$等价于整个自同构群$Aut(G)$。但我卡在了后续步骤——没法证明$IA_z(G)=IA(G)$，也就是没法说明有限完全群的所有自同构都必须中心化它的中心$Z(G)$。

这个问题来自我读到的一篇关于群的IA-同斜性的论文。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mahtab