独立同分布随机变量相关概率表达式的推导疑问

嗨，我来帮你一步步拆解这个推导过程，搞清楚式(4)是怎么来的～

首先先明确几个关键前提：

• $h_0$和$h_1$是非负的连续型独立同分布随机变量（从积分下限是0就能看出来，它们的取值范围是$[0,\infty)$）
• $\phi = \frac{u_1}{a_1\rho - a_2\rho u_1}$是一个正的常数（代入你给的数值计算：$\phi = 2.4/(0.81 - 0.21*2.4) = 7.5$，确实是正数）

接下来我们从原始概率表达式开始推导：

我们要计算的是 $P = \text{Pr}(h_0 h_1 < \phi)$。对于连续型随机变量的联合概率，我们可以用全概率公式的连续形式来分解：固定$h_0$的取值为$y$，计算在$h_0=y$的条件下，$h_1$满足不等式的概率，再对所有可能的$y$积分，同时乘以$h_0$取$y$的概率密度。

1. 当固定$h_0=y$时，原不等式转化为：$y \cdot h_1 < \phi$

   • 如果$y > 0$：因为$\phi$是正数，我们可以把不等式两边同时除以$y$，得到 $h_1 < \frac{\phi}{y}$
   • 如果$y=0$：左边是$0 \cdot h_1 = 0$，显然小于$\phi$，这个事件必然发生，概率为1，但由于连续型随机变量取单点$y=0$的概率为0，所以这部分在积分里不会影响结果，可以忽略

2. 因为$h_0$和$h_1$是独立的，条件概率等于边缘概率：
   $$\text{Pr}(h_1 < \frac{\phi}{y} \mid h_0 = y) = \text{Pr}(h_1 < \frac{\phi}{y})$$
   而这个概率正好就是$h_1$的累积分布函数（CDF）$F_{h_1}\left(\frac{\phi}{y}\right)$

3. 最后把所有可能的$y$的情况积分起来，乘以$h_0$的概率密度函数（PDF）$f_{h_0}(y)$，就得到了：
   $$P = \int_0^{\infty} F_{h_1}\left(\frac{\phi}{y}\right) \cdot f_{h_0}(y) dy$$
   这就是你看到的式(4)啦。

另外补充一点：因为$h_0$和$h_1$是同分布的，所以$f_{h_0}(y) = f_{h_1}(y)$，$F_{h_0}(x) = F_{h_1}(x)$，式(4)里保留不同下标只是为了明确分别对应$h_1$的CDF和$h_0$的PDF，完全没问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heretolearn