全序子集上界存在性与递增序列上界存在性的等价性问题

嘿，我最近在琢磨偏序集的相关性质，碰到一个关于Zorn引理里归纳集定义的小困惑，想跟大家聊聊：

设$(X, \leq)$是一个偏序集，我想确认下面两个条件是不是等价的：

• 条件1：$X$的每个全序子集都有上界
• 条件2：$X$的每个递增序列都有上界

首先，$1 \implies 2$这个方向我是明白的——毕竟任何递增序列本身就是一个全序子集，所以如果所有全序子集都有上界，那递增序列自然也满足。但反过来，$2 \implies 1$是否成立呢？

我自己尝试用反证法去推：假设存在$X$的一个全序子集$A$没有上界，那我试着从$A$里构造一个严格递增的序列$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$。根据条件2，这个序列肯定有一个上界$x$。但因为$A$没有上界，所以必然存在某个$a \in A$，使得$x < a$。可这里卡住了：我没法确定$a$和序列里的某个$a_n$之间有$a \leq a_n$的关系，所以没法导出矛盾，证明就进行不下去了。

这个疑问的由来是，我看到不同的参考资料里，Zorn引理中“归纳集”的定义不一样，有的用条件1，有的用条件2，所以就想搞清楚这两个条件到底能不能画等号。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ZENG