如何计算组合的所有可能变体？含可重复、不可重复及无序场景

你已经搞懂了可重复排列的情况：从10个数字里选3个，每个位置都能重复选，所以是 10^3 = 1000 种，完全正确。接下来咱们拆解另外两个你关心的场景：

场景1：数字不可重复的排列（无重复，位置有意义） #

这种情况属于无重复排列问题——第一个位置你有10种选择（0到9全选），选完之后第二个位置不能用已经选过的数字，就只剩9种可选；到第三个位置，再去掉前两个选过的数字，就只剩8种。直接相乘就能得到总数：
10 × 9 × 8 = 720
用排列数公式表示就是 P(10, 3) = 10! / (10-3)!，计算结果和上面一致。

场景2：位置无关的组合（不考虑顺序，视为同一组合） #

这里要分两种子情况，毕竟你提到了像116、161、611这类带重复数字的组合也视为同一，所以得区分是否允许数字重复：

子情况2.1：允许数字重复的组合（位置无关） #

这是典型的可重复组合问题，对应的公式是 C(n + k - 1, k)，其中n是总数字数量（这里是10），k是要选的数字个数（这里是3）。代入计算：
C(10 + 3 - 1, 3) = C(12, 3) = (12×11×10)/(3×2×1) = 220
简单解释下思路：可以把这个问题转化为“把3个相同的‘选择标记’放到10个数字对应的‘槽’里”，用9个分隔符把10个槽分开，总共就有10+3-1=12个位置，选3个位置放标记，剩下的放分隔符，这样就对应了每个数字被选中的次数，自然就不用考虑顺序了。

子情况2.2：不允许数字重复的组合（位置无关） #

如果同时要求数字不能重复，且位置无关，那就是普通的无重复组合，公式是 C(10, 3) = 10! / (3! × (10-3)!)，计算下来：
(10×9×8)/(3×2×1) = 120
道理很简单：从10个数字里选3个，原本的排列数有720种，但每一组3个不同的数字会被数6次（3个数字的全排列数是3! = 6），所以除以6就能得到不考虑顺序的组合数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PonasM