关于不可逆切丛的技术问询：是否存在连通开光滑流形的切丛非平凡丛的子丛？

嗨，这个问题问得相当专业且有意思！咱们先把问题再明确一遍：

是否存在一个连通、开的光滑流形 $M$，使得它的切丛 $\tau$ 无法成为某个平凡纤维丛的子丛？

首先你提到的这个前提结论完全正确：

• 对于闭（紧且无边）的流形来说，这种情况是绝对不可能发生的。这是纤维丛理论里的经典结论——任何紧拓扑空间上的纤维丛，都能借助单位分解、有限覆盖等工具构造出嵌入到某个平凡丛中的映射，紧性带来的“有限性”是实现这种嵌入的关键。

那回到开流形的情况，答案是存在这样的流形！给你一个经典的例子：考虑 $M$ 是 $\mathbb{R}^4$ 中去掉所有整数格点 $\mathbb{Z}^4$ 后的开子流形。它的切丛 $\tau$ 就无法嵌入到任何平凡丛中，核心原因在于这个流形的同伦结构带有“无限多的拓扑扭结”，这些扭结无法被平凡丛的全局平坦结构所容纳。

再从理论层面补充解释：非紧流形没有紧性带来的有限覆盖约束，虽然单位分解依然存在，但我们没法像紧流形那样把局部的平凡化拼接成全局的嵌入。某些非紧流形的切丛会带有全局的非平凡拓扑不变量（比如高阶施蒂费尔-怀特尼类），这些不变量会直接阻止切丛嵌入到任何平凡丛中。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Julius J.