双纽线正弦函数（sl）基本周期{(1+i)𝜘,(1-i)𝜘}的证明及基本域验证难题

我在网上没找到太多关于这个推导的资料，干脆把我的大部分推导过程分享出来吧：

从辐角和公式与极点分析入手 #

我先从辐角和公式开始，这个公式需要用到sl和cl的特定值。为了找到这些值，我先研究了sl和cl的极点：

推导sl的极点位置 #

考虑arcsl和arccl的积分表示：
$$\text{arcsl}(\infty)=\int_0^{{\infty}\frac{1}{\sqrt{1-t}4}}, dt=\int_0^{{1}\frac{1}{\sqrt{1-t}4}}, dt +\int_1^{{\infty}\frac{1}{\sqrt{1-t}4}}, dt$$
对第二个积分做变量替换$t\mapsto \frac{1}{t}$，可得：
$$=\int_0^{{1}\frac{1}{\sqrt{1-t}4}}, dt+\int_0^{{1}\frac{1}{\sqrt{t}4-1}}, dt=\int_0^{{1}\frac{1}{\sqrt{1-t}4}}, dt\pm i\int_0^{{1}\frac{1}{\sqrt{1-t}4}}, dt=\frac{1\pm i}{2}\varpi$$
由此可知sl的极点位于$\frac{1\pm i}{2}\varpi$处。

结合sl的奇函数性质$\text{sl}(-z)= -\text{sl}(z)$，还能得到$\text{sl}(-\frac{\varpi}{2}\pm \frac{i\varpi}{2})\longrightarrow \infty$。

推导sl(i𝜘)=0 #

利用sl的辐角和公式：
$$\text{sl}(u+v)=\frac{\text{sl}(u)\sqrt{1-\text{sl}^{4(v)}+\text{sl}(v)\sqrt{1-\text{sl}}4(u)}}{1+\text{sl}^{2(v)\text{sl}}2(u)}$$
注意到当sl$(v)$趋向无穷时，$\sqrt{1-\text{sl}^4(v)}\sim \text{sl}^2(v)$。令$u\longrightarrow \frac{\varpi}{2}+i\frac{\varpi}{2}$，$-v\longrightarrow \frac{\varpi}{2}-i\frac{\varpi}{2}$，代入公式可得：
$$\text{sl}(i\varpi)=\text{sl}\Big(\frac{\varpi}{2}+i\frac{\varpi}{2}-(\frac{\varpi}{2}-i\frac{\varpi}{2})\Big)\sim \frac{1}{\text{sl}( u)}-\frac{1}{\text{sl}(v)}\longrightarrow 0$$
这里用到了$\text{sl}(\frac{\varpi}{2}+i\frac{\varpi}{2})$和$\text{sl}(\frac{\varpi}{2}-i\frac{\varpi}{2})$都趋向无穷的结论，因此得到$\text{sl}(i\varpi)=0$。

推导sl(i𝜘/2)=i与cl(i𝜘)=-1 #

考虑积分：
$$\int_0^i \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}, dt$$
做变量替换$-it=w$，可得结果为$i\frac{\varpi }{2}$，因此$\text{sl}(i\frac{\varpi }{2})=i$。

再利用cl的辐角和公式：
$$\text{cl}(u+v)=\frac{\text{cl}(u)\text{cl}(v)-\text{sl}(v)\text{sl}(u)}{1+\text{sl}(u)\text{sl}(v)\text{cl}(v)\text{cl}(u)}$$
令$u=v\longrightarrow i\frac{\varpi}{2}$，代入得：
$$\text{cl}(i\varpi)=\frac{\text{cl}^2( i\frac{\varpi}{2})-\text{sl}^2( i\frac{\varpi}{2})}{1+\text{sl}^2( i\frac{\varpi}{2})\text{cl}^2( i\frac{\varpi}{2})}$$
已知$\text{cl}(i\frac{\varpi}{2})=\text{sl}(\frac{\varpi}{2}-i\frac{\varpi}{2})$趋向无穷，且$\text{sl}(i\frac{\varpi }{2})=i$，代入化简后可得：
$$\text{cl}(i\varpi)=\frac{1-0}{0-1}=-1$$

证明sl的双周期性 #

现在可以证明sl的双周期性了，先计算$\text{sl}((1\pm i)\varpi)$：
$$\text{sl}((1\pm i)\varpi)=\frac{\text{sl}(\varpi)\text{cl}( i\varpi)\pm \text{sl}(i\varpi)\text{cl}(\varpi)}{1\mp \text{sl}(\varpi)\text{cl}( i\varpi)\text{sl}(i\varpi)\text{cl}(\varpi)}=0$$
同理，用cl的辐角和公式可得$\text{cl}((1\pm i)\varpi)=1$。

再代入sl的辐角和公式计算$\text{sl}(z+(1\pm i)\varpi)$：
$$\text{sl}(z+(1\pm i)\varpi)=\frac{\text{sl}(z)\text{cl}((1\pm i)\varpi)+\text{cl}(z)\text{sl}((1\pm i)\varpi)}{1-\text{sl}((1\pm i)\varpi)\text{cl}((1\pm i)\varpi)\text{cl}(z)\text{sl}(z)}$$
因为$\text{sl}((1\pm i)\varpi)=0$，代入后化简可得$\text{sl}(z+(1\pm i)\varpi)=\text{sl}(z)$，这就证明了sl的基本周期为${(1+i)\varpi,(1-i)\varpi}$。

卡在基本域的验证环节 #

接下来要验证这是否构成基本域，我需要证明不存在$0<\xi<1$使得$\text{sl}((1+i)\xi \varpi )=0$（因为$\text{sl}(0)=0$）。通过应用辐角和公式，这个问题可以转化为证明不存在$0<\xi<1$满足：
$$\text{sl}(\varpi \xi)\text{cl}(i\xi \varpi )=\pm \text{cl}(\xi \varpi )\text{sl}(i\xi \varpi )$$
到这里我就卡住了，而且我不能用Mittag极点展开来证明这个结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1018345