连通单连通李群的积分群相关问题

嘿，这个问题问得很到位！咱们直接给结论：答案是肯定的——总能找到这样的连通李群K。

怎么理解呢？其实思路特别直接：假设已经存在某个李群H使得G = H'（也就是G是H的换位子群），那我们只需要取H的单位连通分支H₀就好啦！

为什么这就行呢？首先，H₀本身是连通李群，这是李群单位连通分支的基本性质。然后，H₀的换位子群H₀'，其实就是H'的单位连通分支。而题目里已经明确G=H'，并且G是连通的，所以H'的单位连通分支就是G自己呀！也就是说H₀' = G，这不就正好满足我们要找的连通李群K的条件了嘛？

当然，如果从李代数的角度再深挖一层也很有意思：连通单连通李群和它的李代数是一一对应的，G的李代数𝔤一定是某个李代数𝔨的换位子代数（比如你可以把𝔤和一个阿贝尔李代数直和，定义合适的括号），而𝔨对应的连通单连通李群K，它的换位子群就正好对应[𝔨,𝔨]=𝔤，也就是G。不过刚才那个用H的单位连通分支的方法，其实更直接，毕竟题目已经给出了存在这样的H，我们不需要从零构造K~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David Towers