求解实数方程⌊x³⌋-3⌊x²⌋+2⌊x⌋=0的完整解集

Hey，咱们一步步拆解这个取整方程的解法，先锁定x的有效范围，再分区间逐一验证：

第一步：缩小x的取值范围 #

首先可以快速排除两种无效情况：

• 负数不可能是解：假设x是负数，令x=-t（t>0），代入方程左边会得到-⌈t³⌉ - 3⌊t²⌋ - 2⌈t⌉，这明显是个负数，不可能等于0，所以x必须是非负的。
• x≥3时无解：当x≥3，⌊x⌋≥3，⌊x²⌋≥9，⌊x³⌋≥27，代入左边算出来是27 - 27 + 6 = 6，而且x越大这个值只会越大，肯定不等于0。所以所有解都落在[0,3)这个区间里。

第二步：分区间验证解 #

接下来我们把[0,3)拆成几个子区间，逐个分析：

1. 区间[0,1)：
   这里x的整数部分是0，所以⌊x⌋=0，⌊x²⌋=0，⌊x³⌋=0，代入方程左边直接就是0 - 0 + 0 = 0，完美满足，所以这个区间里的所有实数都是解。

2. 区间[1, ∛2)：
   这里⌊x⌋=1，因为x小于∛2（约等于1.26），所以x²小于(∛2)²=∛4≈1.587，整数部分还是1，也就是⌊x²⌋=1；同时x³小于2，所以⌊x³⌋=1。代入左边计算：1 - 3*1 + 2*1 = 0，满足方程，这个区间也是解。

3. 区间[∛2, 2)：
   这个区间里不管x取什么值，代入方程左边的结果都不会是0。比如x∈[∛2, √2)时，左边=2-3+2=1≠0；x∈[√2,2)时，左边要么是负数要么是正数，都不满足方程，所以这个区间没有解。

4. 区间[2,3)：
   这个区间里我们需要按⌊x²⌋的取值再细分：

   • 当⌊x²⌋=4（即x∈[2,√5)），此时要求⌊x³⌋=3*4 - 2*2=8，也就是x³<9，即x∈[2,∛9)，这个子区间满足方程；
   • 当⌊x²⌋=5（即x∈[√5,√6)），要求⌊x³⌋=3*5 -4=11，也就是x∈[∛11,∛12)，取交集后得到x∈[√5,∛12)，满足方程；
   • 当⌊x²⌋=6（即x∈[√6,√7)），要求⌊x³⌋=3*6 -4=14，也就是x∈[∛14,∛15)，取交集后得到x∈[√6,∛15)，满足方程；
   • 当⌊x²⌋=7或8时，对应的⌊x³⌋区间和x²的区间没有交集，所以无解。

最终完整解集 #

把所有满足条件的区间合在一起，方程的实数解为：

• [0, 1)
• [1, ∛2)
• [2, ∛9)
• [√5, ∛12)
• [√6, ∛15)

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Makar