关于线性代数准素分解定理的疑问及若尔当标准形证明的咨询

嗨，我来帮你理清楚这些关于准素分解和若尔当标准形的疑问～

首先回答第一个问题：为什么准素分解通常用极小多项式而非特征多项式？

其实核心原因在于极小多项式的“极小性”带来的分解精炼性：

• 首先回忆准素分解的本质：如果线性算子$T$满足$f(T)=0$（$f$是首一多项式），且$f$分解为两两互素的准素多项式乘积$f=f_1f_2\cdots f_k$，那么空间$V$可以分解为$\ker f_1(T)\oplus\ker f_2(T)\oplus\cdots\oplus\ker f_k(T)$，每个子空间都是$T$-不变的。
• 特征多项式确实满足$\chi_T(T)=0$（凯莱-哈密顿定理），它的准素分解对应的就是你提到的广义 eigenspace分解——每个$\ker(T-\lambda I)^{a_\lambda}$（$a_\lambda$是$\lambda$的代数重数）就是广义 eigenspace，维数等于代数重数。但这里有个关键点：对于广义 eigenspace$V_\lambda$，存在一个最小的指数$m_\lambda$（也就是$\lambda$在极小多项式$m_T(x)$中的指数），使得$\ker(T-\lambda I)^{m_\lambda}=\ker(T-\lambda I)^{a_\lambda}=V_\lambda$——换句话说，当$k\geq m_\lambda$时，$(T-\lambda I)^k$在$V_\lambda$上的核不会再扩大了。
• 所以用极小多项式做准素分解时，每个子空间$\ker(T-\lambda I)^{m_\lambda}$对应的正是广义 eigenspace，而且这个$m_\lambda$是使得$(T-\lambda I)^{k$在该子空间上为零算子的最小指数。这意味着，每个子空间上的限制算子$T|_{V_\lambda}$的极小多项式就是$(x-\lambda)}{m_\lambda}$——这是最“紧凑”的零化多项式，准素分解用极小多项式，其实是抓住了每个子空间上算子的本质零化性质，而特征多项式的准素因子只是更“冗余”的零化多项式（因为$a_\lambda\geq m_\lambda$）。
• 另外，准素分解定理的一般表述是针对任意满足$f(T)=0$的多项式，但极小多项式是所有这样的多项式中次数最低的，用它来做分解，能保证我们得到的是不可再细化的T-不变子空间直和（因为准素多项式本身无法再分解为两两互素的非平凡因子，所以每个子空间不能再拆成更小的T-不变子空间直和）。

接下来回答第二个问题：有没有办法不用准素分解证明若尔当标准形定理？

当然可以！这里给你两种常见的思路：

• 思路一：循环子空间分解 + 代数闭域性质
  先利用循环分解定理，把有限维空间分解为$T$-循环子空间的直和$V=Z(v_1;T)\oplus Z(v_2;T)\oplus\cdots\oplus Z(v_k;T)$，每个循环子空间上$T$的矩阵是有理标准形（ companion matrix）。因为我们在代数闭域上（若尔当标准形存在的前提），每个循环子空间的零化多项式（即极小多项式的因子）可以分解为一次多项式的幂，对应的有理标准形就能转化为若尔当块——这样就得到了若尔当标准形，整个过程不需要用到准素分解。
• 思路二：λ-矩阵的初等变换
  考虑$T$的特征矩阵$xI-T$，通过一系列初等行/列变换，把它化为史密斯标准形（对角矩阵，对角元是不变因子，满足每个因子整除下一个）。在代数闭域上，不变因子可以分解为一次多项式的幂，这些幂对应的就是若尔当块的大小，进而构造出若尔当标准形。这种方法完全依赖多项式矩阵的变换，和准素分解无关。

另外，还有一些更构造性的证明，比如对空间维数做归纳：假设维数小于$n$时若尔当标准形存在，对于$n$维空间，取一个特征值$\lambda$，考虑广义 eigenspace$V_\lambda$，它是$T$-不变的，商空间$V/V_\lambda$上的诱导算子维数小于$n$，由归纳假设存在若尔当标准形，再把商空间的若尔当基提升回$V$，结合$V_\lambda$上的若尔当基，就能得到整个空间的若尔当基。这种方法也不需要明确用到准素分解的定理表述，只是用到了广义 eigenspace的性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wintermelon423