相依伯努利随机变量序列的成功占比分布

嘿，这个问题问到点子上了！咱们先把核心逻辑理清楚，再给你具体的解决方案：

首先得明确一个关键点：如果是有限个N个相依伯努利变量，它们的成功占比$S=(X_1+X_2+…+X_N)/N$的取值只能是0、1/N、2/N…1这些离散的点，每个点都有正概率，所以S的分布必然是离散的——连续分布的随机变量在任何单点的概率都是0，所以有限N的情况下没法得到严格的连续分布。

但如果你的需求是避免正态近似、同时让占比的分布严格有界在0-1之间，且尽可能接近连续（或者考虑N趋向无穷的极限情况），那完全可以通过构造合适的依赖结构实现，给你介绍最实用的一种思路：

混合伯努利模型（条件独立构造） #

这个方法的核心是通过一个连续的“潜在变量”引入变量间的依赖：

• 先定义一个取值在(0,1)的连续型随机变量$Q$，比如选$Q$服从Beta分布（$\text{Beta}(a,b)$），只要调整参数$a$和$b$使得$E[Q]=a/(a+b)=q$，就能保证每个$X_i$的边缘成功概率是$q$，满足你的要求。
• 让每个$X_i$在给定$Q=q'$的条件下独立同分布于$\text{Bernoulli}(q')$——也就是说，所有$X_i$都共享同一个潜在的成功概率$Q$，它们的依赖关系就来自这个共同的潜在变量。

这样构造出来的$X_1$到$X_N$都是边缘伯努利($q$)的相依变量，而成功占比$S$的条件分布是$\text{Binomial}(N, Q)/N$，再结合$Q$的连续分布，$S$的边缘分布就是这两者的混合分布：

• 当$N$比较大时，这个混合分布会非常接近连续分布（因为$\text{Binomial}(N,q')/N$会集中在$q'$附近，而$Q$是连续变化的，相当于把无数个离散的二项分布“拼接”起来，填满了0-1区间）；
• 最重要的是，这个分布天生严格有界在0到1之间，完全不需要用正态近似（毕竟正态分布会超出0-1的范围，不符合你的需求）。

如果你确实需要严格的连续分布，那只能考虑$N$趋向无穷的极限情况：根据大数定律，此时$S$会几乎处处收敛到$Q$，而$Q$是连续型变量，所以$S$的极限分布就是$Q$的连续分布，完美满足你“有界连续”的要求。

对比一下独立伯努利的情况：独立时$S$的分布是离散的二项分布标准化，大$N$下用正态近似但会有边界外的概率，而混合模型的方式从根源上解决了边界问题，还能通过调整$Q$的分布（比如选不同的连续分布）来灵活控制$S$的分布形态。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thom