递归定义函数的Lipschitz常数上界估计及递推关系系统化求解方法问询

我目前正在处理一个问题，需要对递归定义的函数序列$(f_j)_{j\ge0}$的第$J$项的Lipschitz常数进行上界估计。

我取任意两个输入$x,y$，对所有$j\ge0$定义量$c_j := |f_j(x)-f_j(y)|$，可以证明它满足$c_0 = 0$，且：
$$c_j\le|x-y|\big(1 +(d+js)m_{j-1}\big) + R(d+js)c_{j-1},\tag1$$
其中$d,s,R>1$是固定参数，序列$(m_j){j\ge0}$满足$m_0=1$，且：
$$m_j\le R\cdot \big((d+js)\ m{j-1} + 1\big)\quad\forall j\ge 1. \tag2$$

手动推导的初步结果 #

通过递归展开，我（如果没算错的话）得到了$m_j$的上界：
$$m_j\le R^j\prod_{k=1}j(d+ks) + \sum_{k=1}^j R^k \tag3 $$
类似地，$c_j$的上界可以表示为：
$$c_j \le |x-y|\underbrace{\left[\sum_{k=1}^j R^{{k-1}\left(\prod_{\ell=0}}{k-2}\big( d+(j-\ell)s\big) + m_{j-k}\prod_{\ell=0}^{k-1}\big( d+(j-\ell)s\big)\right)\right]}_{=:L_j}\tag4 $$

核心问题 #

1. $L_j$的易处理紧上界：有没有办法得到$L_j$作为$j,d,s,R$的函数的紧上界，且表达式尽可能“易处理”（比如尽量减少求和、乘积项）？这里的“易处理”指的是足够简洁，方便我和问题中的其他变量建立关联。
2. 系统化处理递推的方法：未来我可能会处理不同类型的递归函数族，有没有系统化的通用方法来处理这类递推关系？手动推导太容易出错了。
3. 自动求解的工具/文献：有没有相关的论文、书籍，或者软件可以自动求解类似(1)(2)这样的递推式？

后续推导进展：Gamma函数形式转化 #

后来我发现，(3)(4)中出现的所有乘积项都有闭合形式表达式。对于任意固定的$a,b>0$和$n,m\in\mathbb N$，有：
$$\prod_{k=n}^{m-1} (a + kb) = a^{{n-m}\prod_{k=n}}{m-1} \left(1 + k\frac{b}{a}\right) = a^{n-m}\frac{\Gamma(1+mb/a)}{\Gamma(1+nb/a)} $$

基于此，我把$L_j$转化为了Gamma函数的形式：
$$\begin{align}L_j &= \sum_{k=1}^j R^{k-1}d{k-1}\frac{\Gamma\left(1+(j+1)\frac s d\right)}{\Gamma\left(1+(j-k+2)\frac sd\right)}\
&+\sum_{k=1}^j R^{k-1}d{k}\left( \left(d^j \frac{\Gamma\left(1 + (j+1)\frac sd\right)}{\Gamma\left(1 + \frac sd\right)} + \frac{R^{j-k}-1}{R-1}\right)\left(\frac{\Gamma\left(1+(j+1)\frac s d\right)}{\Gamma\left(1+(j-k+1)\frac sd\right)}\right)\right). \end{align}$$

虽然这个表达式还是比较复杂，但至少是由常见函数组成的求和形式，应该能比“用最大项乘以$j$”的 brute force 方法得到更好的上界。比如，针对Gamma函数比值$\frac{\Gamma(1+x)}{\Gamma(1+y)}$（$x,y>0$），有没有好用的上界估计？或者其他优化思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stratos supports the strike