有限群G\{e}的逆闭子集满足|Sa∩S|恒等的必要与充分性质问询

我最近在研究有限群里的逆闭子集相关问题，想跟大家探讨：给定有限群$G$，$S$是$G\setminus{e}$的逆闭子集，什么时候对所有$a,b\in S$，都有$|Sa\cap S|=|Sb\cap S|$？

先给两个满足条件的直观例子：

• 当$S$是去掉单位元$e$的子群时：假设$|S|=k$，利用子群的封闭性，$Sa$就是$S$本身，所以$|Sa\cap S|=k-1$，显然对所有$a\in S$这个值都相等。
• 另一个例子是对$G\setminus{e}$中的任意元素$a$，取$S={a,a^{{-1}}$：此时$Sa={a}2,e}$，$Sa\cap S$的元素就是$a^{2$（如果$a}2\in S$的话）；同理当$b=a^{-1}$时，$Sb\cap S$对应的是$(a²⁾{-1}$是否在$S$里。而因为$S$是逆闭的，$a^2\in S$当且仅当$(a²⁾{-1}\in S$，所以两者的交集基数必然相等。

问题动机 #

这个问题其实是从Cayley图的研究引申来的：给定逆闭子集$S\subseteq G\setminus{e}$，我们可以定义Cayley图$\Gamma=\text{Cay}(G,S)$——它的顶点集是$G$，两个顶点$a,b$相邻当且仅当$ab^{-1}\in S$。

不难发现，顶点$a$的邻居集合$N_a$就是$Sa$，而且$\Gamma$是$k$-正则图（$k=|S|$），这一点也可以从Cayley图的顶点传递性得到：任意两个顶点之间都存在图同构映射，把其中一个映射到另一个。

现在我感兴趣的是：什么时候Cayley图$\Gamma$是局部$m$-正则的？也就是每个顶点$a$的邻居诱导子图$<N_a>$都是$m$-正则图。借助顶点传递性，我们只需要考虑单位元$e$的情况就足够了——此时$N_e=Se=S$，所以问题就转化为：对所有$a,b\in S$，$Sa\cap S$和$Sb\cap S$的基数都等于同一个$m$。

所以想请教各位，$S$需要满足哪些必要或充分性质，才能满足这个条件？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bertrand Haskell