关于用分部积分法求解∫eˣsin(x)dx时替换思路的合理性疑问

嘿，我来帮你理一理这个问题哈～首先得明确说：你把$\cos(x)$替换成$-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{x^2}$的做法，在数学上是完全错误的，不能这么操作。

为什么你的替换思路不成立？ #

$\cos(x)$和$-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{x^2}$这两个函数没有任何恒等关系，它们的图像、定义域、函数值分布完全不一样，你不能因为它们的原函数（$\sin(x)$和$\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{x}$）形式有点相似，就强行把两个不相等的函数互相替换。积分是对被积函数的直接运算，替换的前提必须是两个函数完全相等（或者通过变量替换建立等价关系），你的这个替换没有任何数学依据，属于逻辑错误。

用分部积分法求解$\int e^x\sin(x)dx$的正确步骤 #

这类“指数函数×三角函数”的积分，标准解法是两次分部积分后构造循环方程，具体步骤如下：

1. 回忆分部积分公式：$\int u\mathrm{d}v = uv - \int v\mathrm{d}u$
2. 第一次分部积分：
   令$u=\sin(x)$，$\mathrm{d}v=e^{x\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u=\cos(x)\mathrm{d}x$，$v=e}x$
   代入公式得：
   $$\int e^x\sin(x)\mathrm{d}x = e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\mathrm{d}x$$
3. 第二次分部积分（针对右边的$\int e^x\cos(x)\mathrm{d}x$）：
   令$u=\cos(x)$，$\mathrm{d}v=e^{x\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u=-\sin(x)\mathrm{d}x$，$v=e}x$
   代入公式得：
   $$\int e^x\cos(x)\mathrm{d}x = e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x)\mathrm{d}x$$
4. 构造循环方程求解：
   把第二次分部积分的结果代回第一次的式子：
   $$\int e^x\sin(x)\mathrm{d}x = e^x\sin(x) - \left[ e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x)\mathrm{d}x \right]$$
   展开后整理：
   $$\int e^x\sin(x)\mathrm{d}x = e^x\sin(x) - e^x\cos(x) - \int e^x\sin(x)\mathrm{d}x$$
   把右边的$-\int e^x\sin(x)\mathrm{d}x$移到左边：
   $$2\int e^x\sin(x)\mathrm{d}x = e^x(\sin(x)-\cos(x)) + C$$
   两边除以2，得到最终结果：
   $$\int e^x\sin(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}e^x(\sin(x)-\cos(x)) + C$$

这个结果和你之前通过导数反推的结论完全一致——对$\frac{1}{2}e^{x(\sin(x)-\cos(x))$求导，就能得到$e}x\sin(x)$，验证正确。

下次遇到这种积分后又出现原积分项的情况，记得用这种“循环移项”的方法，这是这类问题的通用解法哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stanleysearles