关于紧空间基点路径空间紧性及紧度量空间中路径序列收敛性的技术问询

大家好，我最近在研究紧度量空间上的路径空间相关性质，遇到了一个卡壳的问题，想过来请教各位大佬：

设$X$是一个紧度量空间，为了简化讨论，先额外假设它是单连通的。任取$x, y \in X$，定义从$x$到$y$的路径空间：
$$
E(X,x,y) = { f: [0,1] \to X : f(0) = x, f(1) = y }
$$
这个空间装备紧开拓扑，同时在上确界度量下它是一个有界度量空间。

我的核心疑问有两个：

• 什么样的附加条件能让路径空间$E(X,x,y)$本身成为紧空间？
• 更一般地，对于紧度量空间$X$中的任意路径序列$(p_n)$，满足什么性质时，它一定存在收敛的子序列？

我自己试着推导过一些紧性的结论，但总觉得论证不够严谨，甚至怀疑存在很自然的反例。说实在的，我本质上关心的是：紧度量空间里的路径序列，什么时候会收敛到一个“合理”的极限路径。麻烦各位帮忙指点迷津，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jpmacmanus