伽马函数分式化简的代数推导步骤求助

嘿，我来帮你拆解这个伽马函数分式的化简逻辑，其实核心就是用好伽马函数的递推性质，咱们一步步来，保证每一步都清晰：

首先，为了让式子看起来更简洁，先做个变量替换——设 ( t = \frac{1}{q-1} )，这样原式里的指数项都能简化：

• ( \frac{1}{2} + \frac{1}{q-1} = t + \frac{1}{2} )
• ( \frac{q}{q-1} = 1 + \frac{1}{q-1} = t + 1 )
• ( \frac{q}{q-1} + \frac{1}{2} = t + 1 + \frac{1}{2} = t + \frac{3}{2} )

替换后，原式左边就变成了：
[
\frac{\Gamma\left(t + \frac{1}{2}\right)}{\Gamma(t)} \cdot \frac{\Gamma(t + 1)}{\Gamma\left(t + \frac{3}{2}\right)}
]

接下来用伽马函数最基础的递推公式：( \Gamma(z + 1) = z \cdot \Gamma(z) )，这个公式是伽马函数化简的核心工具，咱们把它用到式子的几个部分：

1. 对 ( \Gamma(t + 1) ) 用递推公式：( \Gamma(t + 1) = t \cdot \Gamma(t) )
2. 对 ( \Gamma\left(t + \frac{3}{2}\right) ) 用递推公式，先把它写成 ( \Gamma\left(\left(t + \frac{1}{2}\right) + 1\right) )，这样就符合递推公式的形式了：
   [
   \Gamma\left(t + \frac{3}{2}\right) = \left(t + \frac{1}{2}\right) \cdot \Gamma\left(t + \frac{1}{2}\right)
   ]

现在把这两个展开结果代入左边的分式：
[
\frac{\Gamma\left(t + \frac{1}{2}\right)}{\Gamma(t)} \cdot \frac{t \cdot \Gamma(t)}{\left(t + \frac{1}{2}\right) \cdot \Gamma\left(t + \frac{1}{2}\right)}
]

这时候你会发现，分子分母里的 ( \Gamma(t) ) 和 ( \Gamma\left(t + \frac{1}{2}\right) ) 都可以直接约掉，剩下的就是一个简单的多项式分式：
[
\frac{t}{t + \frac{1}{2}}
]

最后把 ( t = \frac{1}{q-1} ) 代回这个分式，计算一下：
先把分母通分：( t + \frac{1}{2} = \frac{1}{q-1} + \frac{1}{2} = \frac{2 + (q-1)}{2(q-1)} = \frac{q + 1}{2(q-1)} )

然后计算整个分式：
[
\frac{\frac{1}{q-1}}{\frac{q + 1}{2(q-1)}} = \frac{1}{q-1} \times \frac{2(q-1)}{q + 1} = \frac{2}{q+1}
]

你看，这不就正好等于原式右边的结果了嘛！其实这个化简没用到太复杂的伽马函数性质，就是用递推公式把伽马函数项展开后约掉，剩下的代数计算就很简单了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JC94