关于双原点直线商空间非豪斯多夫性证明的细节困惑与修正方法咨询

问题背景 #

设 $X=\Bbb R \times {-1,1}$ 带有标准拓扑，定义等价关系 $\sim$：$(x,j)\sim (y,k)$ 当且仅当 $x=y\neq 0$（其中 $x,y\in\Bbb R$，$j,k\in{-1,1}$）。证明商空间 $X/\sim$ 配备商拓扑不是豪斯多夫空间。

我了解这个空间就是常说的“双原点直线”，相关的直觉性解释已经看过，但这类解释多是一维视角的直观描述，缺乏严谨的细节推导。现在我尝试从原空间的两条直线出发严谨证明，但在最后一步遇到了瓶颈，希望得到帮助。

我的证明思路与卡住的环节 #

我的核心思路是：要证明商空间非豪斯多夫，只需找到两个无法被不相交开邻域分离的点——这里就是商空间中对应原空间 $(0,1)$ 和 $(0,-1)$ 的两个等价类 $p=\pi(0,1)$ 和 $q=\pi(0,-1)$（$\pi:X\to X/\sim$ 是商投影映射）。我想通过证明任意 $p$ 的开邻域 $U_p$ 和 $q$ 的开邻域 $U_q$ 的交集都非空，也就是证明它们在投影映射下的原像 $\pi^{{-1}(U_p)\cap\pi}{-1}(U_q)\neq\emptyset$。

我的推导步骤和困惑如下：

• 原空间 $X$ 是乘积空间，它的拓扑基由形如 $(-\epsilon,\epsilon)\times{j}$（$j\in{-1,1}$，$\epsilon>0$）的集合构成——因为 ${-1,1}$ 是离散空间，它的开子集就是单点集本身。
• 根据商拓扑的定义，若 $U_p$ 和 $U_q$ 是商空间中的开集，那么它们的原像 $\pi^{-1}(U_p)$ 和 $\pi^{-1}(U_q)$ 必然是 $X$ 中的开集。
• 由于 $(0,1)\in\pi^{{-1}(U_p)$，$(0,-1)\in\pi}{-1}(U_q)$，根据开集的定义，存在基元素分别包含于这两个原像中：即存在 $\epsilon>0$ 使得 $(-\epsilon,\epsilon)\times{1}\subseteq\pi^{-1}(U_p)$，存在 $\epsilon'>0$ 使得 $(-\epsilon',\epsilon')\times{-1}\subseteq\pi^{-1}(U_q)$。
• 但这里出现了矛盾：这两个基元素 $(-\epsilon,\epsilon)\times{1}$ 和 $(-\epsilon',\epsilon')\times{-1}$ 是完全不相交的（因为第二个分量分别是1和-1），这和我想要证明“原像交集非空”的目标完全相反。

我想知道我哪里出错了，以及该如何修正这个推导？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者some_math_guy