关于有限维向量空间中真子空间维数严格小于包含它的子空间的证明疑问

嘿，我完全懂你卡在这儿的感觉——其实这个反证法的严谨推导核心就藏在有限维向量空间的基的性质里，咱们把它拆解开一步步来：

你已经明确了$\dim(W) \le \dim(V)$是显然的，现在要证明当$W$是$V$的真子空间（也就是$W \subsetneq V$）时，$\dim(W) \neq \dim(V)$。你的反证法方向完全正确，咱们把这个逻辑补严谨：

1. 先取$W$的一组基${w_1, w_2, ..., w_n}$，这里$n = \dim(W)$。因为$W$是$V$的子空间，这组基自然也是$V$中的线性无关向量组。
2. 假设$\dim(W) = \dim(V) = n$，那这组${w_1, ..., w_n}$就是$V$中一个向量个数等于空间维数的线性无关组。根据有限维向量空间的基本定理：这种线性无关组必然是$V$的一组基。
3. 既然它是$V$的基，那$V$里的任意向量都能表示成这组基的线性组合；而因为$W$是子空间，对线性组合封闭，所以这些线性组合都属于$W$——这就意味着$V \subseteq W$。
4. 但咱们一开始就知道$W$是$V$的子空间，也就是$W \subseteq V$。结合$V \subseteq W$，只能得出$W = V$，可这和$W$是$V$的真子空间（$W \neq V$）矛盾！

所以咱们的假设$\dim(W) = \dim(V)$不成立，自然就有$\dim(W) < \dim(V)$啦。

顺带提一句：这个结论只在有限维向量空间里成立哦，要是换成无限维空间，真子空间的维数是有可能和原空间相等的，不过你关注的是有限维的情况，就不用纠结这个啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者haifisch123