请求协助证明指示变量I与-X的负相关性

嗨，我来帮你把这个证明收尾！你已经完成了最核心的推导步骤，其实离得出结论只差临门一脚啦。

先回顾一下你已经推导出的关键结果：
$$
\text{Cov}(I,-X) = \big[ \mathbb E{X} - \mathbb E{X|X > b} \big] \Pr(X > b)
$$

接下来我们只需要分析括号内部分的符号，就能完成证明：

1. 首先利用全期望公式，把整个随机变量$X$的期望拆分为两个条件期望的加权和：
   $$
   \mathbb E{X} = \mathbb E{X|X > b}\Pr(X > b) + \mathbb E{X|X \leq b}\Pr(X \leq b)
   $$

2. 把这个式子代入$\mathbb E{X} - \mathbb E{X|X > b}$并变形：
   $$
   \begin{align*}
   \mathbb E{X} - \mathbb E{X|X > b} &= \mathbb E{X|X > b}\Pr(X > b) + \mathbb E{X|X \leq b}\Pr(X \leq b) - \mathbb E{X|X > b} \
   &= \mathbb E{X|X > b}(\Pr(X > b) - 1) + \mathbb E{X|X \leq b}\Pr(X \leq b) \
   &= \Pr(X \leq b)\left( \mathbb E{X|X \leq b} - \mathbb E{X|X > b} \right)
   \end{align*}
   $$

3. 现在分析括号里的差值：

   • $\mathbb E{X|X \leq b}$是$X$不超过$b$时的条件期望，显然它的取值不大于$b$；
   • $\mathbb E{X|X > b}$是$X$大于$b$时的条件期望，它的取值必然大于$b$。
     因此：
     $$
     \mathbb E{X|X \leq b} \leq b < \mathbb E{X|X > b}
     $$
     也就是$\mathbb E{X|X \leq b} - \mathbb E{X|X > b} < 0$。

4. 最后看概率项：因为题目明确$b$在$X$的分布范围内，所以$\Pr(X > b)$和$\Pr(X \leq b)$都是大于0的正数。

把这些结论代入你之前的协方差表达式：
$$
\text{Cov}(I,-X) = \underbrace{\Pr(X > b)}{>0} \times \underbrace{\Pr(X \leq b)}{>0} \times \underbrace{\left( \mathbb E{X|X \leq b} - \mathbb E{X|X > b} \right)}_{<0}
$$
三个因子相乘的结果必然是负数，所以$\text{Cov}(I,-X) < 0$，这就证明了$I$和$-X$是负相关的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Analysis Rookie