紧群作用下闭子集的轨道闭性问题

嘿，这个问题提得很好，我来一步步帮你分析~

首先先明确你的核心问题：

设$X$是Hausdorff完全不连通空间，$G$是紧群（甚至profinite群），$G$连续作用在$X$上。问$X$中任意闭子集$Y$的轨道$GY = {g \cdot y \mid g \in G, y \in Y}$是否一定是$X$中的闭集？你还给出了一个实例：$X = \mathbb{Z}_p \setminus {0}$，$G = \mathbb{Z}_p^\times$通过乘法作用，这个情况结论成立，因为可以把作用延拓到包含$0$的profinite空间$\mathbb{Z}_p$，而$X$和${0}$都是$G$-等变子集。

其实这个结论在更一般的条件下都成立，甚至不需要$X$是完全不连通的——只要$X$是Hausdorff空间，$G$是紧群且连续作用在$X$上，那么任意闭子集$Y$的轨道$GY$一定是$X$中的闭集。具体原因如下：

• 紧群作用的关键性质：当$G$是紧拓扑群，$X$是Hausdorff空间时，作用映射$f: G \times X \to X$（定义为$f(g,x) = g \cdot x$）是闭映射——也就是说，它把定义域中的闭集映射为值域中的闭集。

  • 简单证明：假设$C$是$G \times X$中的闭集，要证$f(C)$是$X$中的闭集，只需证$X \setminus f(C)$是开集。任取$x \notin f(C)$，则$G \times {x}$与$C$不交（否则存在$g \in G$使得$(g,x) \in C$，那么$x = g^{-1} \cdot f(g,x) \in f(C)$，矛盾）。对于每个$g \in G$，存在$g$的邻域$U_g$和$x$的邻域$V_g$，使得$U_g \times V_g$与$C$不交。由于$G$是紧的，我们可以取有限个这样的$U_g$覆盖$G$，对应的$V_g$的交集$V$是$x$的一个邻域，且$G \times V$与$C$不交，因此$V \cap f(C) = \emptyset$，即$x$是$X \setminus f(C)$的内点，所以$X \setminus f(C)$是开集，$f(C)$是闭集。

• 轨道是闭映射的像：轨道$GY$其实是作用映射$f$在$G \times Y$上的像。而$Y$是$X$的闭子集，所以$G \times Y$是$G \times X$中的闭集（乘积空间中，闭子集与任意拓扑空间的乘积仍是闭集）。结合上面的闭映射性质，$f(G \times Y) = GY$自然就是$X$中的闭集。

• profinite群的特例：profinite群本身就是紧拓扑群（它是有限离散群的逆极限，而紧空间的逆极限仍是紧的），所以profinite群作用的情况完全包含在上述紧群的结论里，自然也满足轨道闭性。

至于你提到的$\mathbb{Z}_p \setminus {0}$的例子，本质上就是这个一般结论的具体实例——$G = \mathbb{Z}_p^\times$是紧profinite群，$X$是Hausdorff空间，闭子集$Y$的轨道自然是闭的，你用延拓到$\mathbb{Z}_p$的方式验证，只是从另一个角度印证了这个结论。

总结一下：不管$X$是不是完全不连通，只要$X$是Hausdorff空间，紧群（包括profinite群）连续作用在$X$上，那么任意闭子集的轨道一定是闭的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Henrique Augusto Souza