基于Python：最小二乘直线与平面拟合的R²比较

一、如何从3D拟合残差计算R² #

R²的核心逻辑是模型能解释的响应变量变异占总变异的比例，公式可以简化为：

R² = 1 - (残差的变异 / 响应变量z的总变异)

结合你已有的3D拟合代码，已经得到了残差errors，只需要稍作转换就能计算出R²：

对应你的补充代码实现 #

import numpy as np

# 将矩阵格式的errors转为一维数组
E = np.squeeze(np.asarray(errors))
Z = np.array(zs)

# 计算3D拟合的R²
r2_3d = 1 - (E.var() / Z.var())

等价的平方和计算方式 #

你也可以用平方和来计算（和方差法结果一致，因为方差是平方和除以样本量，比例会相互抵消）：

ss_res = np.sum(E ** 2)  # 残差平方和
ss_total = np.sum((Z - Z.mean()) ** 2)  # z的总平方和
r2_3d = 1 - (ss_res / ss_total)

两种方法本质相同，选你习惯的方式即可。

二、3D的R²能否和2D的R²比较？ #

完全可以直接比较，原因很明确：

• 两者的响应变量都是zs，R²的计算基准完全一致——都是衡量模型对z的变异的解释程度。
• 2D拟合是用x单独解释z，3D拟合是用x+y共同解释z，对比两者的R²，就能直观看到加入y后对模型解释力的提升。

对比的实际意义：

• 如果3D的R²比2D的提升微乎其微，说明y分量对解释z的变异几乎没有帮助，这时候完全可以忽略y。
• 如果3D的R²比2D的提升明显，说明y对z的影响不可忽视，不能轻易忽略。

⚠️ 小提醒：R²本身会随着加入的变量增多而非递减（哪怕变量没实际作用），如果想要更严谨地判断y是否有显著贡献，你可以考虑计算调整R²（会对变量数量做惩罚），或者对3D模型中y的系数做显著性检验（比如t检验）。

补充：2D拟合的R²获取 #

你的2D代码用了stats.linregress，返回的r_value是x和z的皮尔逊相关系数，它的平方就是2D拟合的R²：

from scipy import stats

slope, intercept, r_value, p_value, std_err = stats.linregress(xs, zs)
r2_2d = r_value ** 2

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jason