关于Spivak《流形上的微积分》中一维变量替换定理证明为何需要条件(2)的疑问

各位大佬好！最近在啃Michael Spivak的《Calculus on Manifolds》，卡在了定理3-13（变量替换）的一维情况证明上——我实在搞不懂为啥作者说要结合条件(2)才能证n=1的情况？下面我把整个背景和我的思路列出来，麻烦大家帮我看看哪里漏了？

先给大家铺垫一下原文的核心内容：
在定理3-13的证明开头，作者写道：

We are now prepared to give the proof, which proceeds by induction on $n$. The remarks before the statement of the theorem, together with (1) and (2), prove the case $n=1$.

定理前的一维基础备注 #

如果$g:[a,b]\to\mathbb{R}$是连续可微函数，$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是连续函数，那么我们熟知：
$$\int_{g(a)}^{g(b)} f = \int_a^b (f\circ g)\cdot g'.$$
这个证明很直观：若$F'=f$，则$(F\circ g)'=(f\circ g)\cdot g'$；左边是$F(g(b))-F(g(a))$，右边是$F\circ g(b)-F\circ g(a)$，两者完全相等。

作者还留了个思考题：如果$g$是单射的，那么上面的公式可以改写为：
$$\int_{g((a,b))} f=\int_{(a,b)} f\circ g\cdot |g'|.$$
（需要分别考虑$g$递增和递减的情况）而这个公式推广到高维就远没有这么简单了。

定理3-13（变量替换定理）的完整表述 #

Let $A\subset\mathbb{R}^n$ be an open set and $g:A\to\mathbb{R}^n$ a 1-1, continuously differentiable function such that $\det g'(x)\neq 0$ for all $x\in A$. If $f: g(A)\to\mathbb{R}$ is integrable, then $$\int_{g(A)}f=\int_A(f\circ g)|\det g'|.$$

两个辅助条件(1)和(2) #

• 条件(1)：假设存在$A$的一个容许覆盖$\mathcal{O}$，使得对每个$U\in\mathcal{O}$和任意可积函数$f$，都有$$\int_{g(U)} f=\int_U (f\circ g)|\det g'|.$$那么定理对整个$A$成立。
• 条件(2)：只需对$f=1$的情况证明定理即可。

我的推理和困惑 #

我自己梳理的一维情况证明思路是这样的：
我们要证的n=1版本定理是：

设$A\subset\mathbb{R}^{1$是开集，$g:A\to\mathbb{R}}1$是单射、连续可微且$g'(x)\neq 0$对所有$x\in A$成立。若$f:g(A)\to\mathbb{R}$可积，则$$\int_{g(A)}f=\int_A(f\circ g)|g'|.$$

首先，一维开集$A$肯定存在一个容许覆盖$\mathcal{O}$，其中每个$U\in\mathcal{O}$都是开区间$(a,b)$（$a<b$）。
然后，对于任意$U\in\mathcal{O}$和任意可积$f$，根据定理前的备注，我们已经能得到$$\int_{g(U)} f=\int_U (f\circ g)|g'|.$$
那按照条件(1)，直接就能推出整个$A$上的等式成立了啊？

我翻来覆去想了好久，实在没看出来哪里需要用到条件(2)？难道我的推理有什么漏洞吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者佐武五郎