通过对f(x)=xⁿ(1+x)ⁿ求n阶导数求解组合和∑ₖ=0ⁿC(n,k)²的值的技术求助

大家好，我最近卡在了一个组合数学的问题上，想请各位帮忙指点思路。问题要求是：通过对$f(x) = x^n (1+x)^{n$求n阶导数，来确定$\sum_{k=0}}n\binom{n}{k}^2$的值。

我自己尝试的思路是把$f(x)$用两种方式展开：
第一种就是原式$f(x)=x^n(1+x)n$，第二种是先把$(1+x)^{n$用二项式定理展开，再乘上$x}n$：
$$
f(x) = x^n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n+k}.
$$

接下来我对这两种形式的$f(x)$分别求了n阶导数：
第一种形式用乘积求导的莱布尼茨法则计算后，得到：
$$
f^{(n)}(x) = n! \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 x^{n-k}(1+x)k
$$

第二种形式直接对多项式逐项求n阶导数后，得到：
$$
f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(n+k)!}{k!} x^k.
$$

然后我代入$x=1$让两个表达式相等，整理后得到：
$$
n! \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(n+k)!}{k!}
$$
进一步变形为：
$$
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n}.
$$

到这里我就卡壳了，完全不知道该怎么计算右边这个求和式。有没有朋友能帮我看看接下来该怎么推进，或者是不是我之前的步骤哪里有疏漏呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sewshley