函数逆像的子集关系求证：A⊆B是否必能推出f⁻¹(A)⊆f⁻¹(B)？

嘿，这个问题问得相当严谨——先把前提明确清楚：我们有函数$f:X \to Y$，且满足$A \subseteq B \subseteq Y$（也就是$B$落在$f$的陪域里），不管$f$是不是单射，那是不是一定能从$A⊆B$推导出$f^{-1}(A)⊆f{-1}(B)$呢？你担心逆像可能比原集合大，这种谨慎完全有道理，不过咱们一步步推导就能搞明白啦。

先从逆像的核心定义出发：

• 集合$A$的逆像$f^{-1}(A)$的定义是：f⁻¹(A) = {x ∈ X: f(x) ∈ A}
• 同理，集合$B$的逆像$f^{-1}(B)$是：f⁻¹(B) = {x ∈ X: f(x) ∈ B}

接下来咱们抓逻辑链：
既然$A \subseteq B$，那只要某个元素属于$A$，它必然属于$B$，翻译成函数值的说法就是：如果$f(x) \in A$，那肯定有$f(x) \in B$。

现在取$f^{-1}(A)$里的任意一个元素$x$：

1. 因为$x$在$f^{-1}(A)$里，根据逆像定义，$f(x) \in A$；
2. 又因为$A⊆B$，所以$f(x)$必然属于$B$；
3. 再对照$f^{-1}(B)$的定义，$x$满足$f(x) \in B$，所以$x$一定在$f^{-1}(B)$里。

这就意味着$f^{{-1}(A)$中的每一个元素都包含在$f}{-1}(B)$中，所以结论成立：$f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B)$ ✅

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Penelope