关于两个局部闭子集的并集为局部闭子集的条件问询

嘿，这个问题问到点子上了！确实，一般情况下两个局部闭子集（也就是形如「开集 ∩ 闭集」的子集）的并不一定还是局部闭的，但确实有不少标准条件能保证它们的并集满足局部闭性，我给你梳理几个常用的：

• 其中一个子集包含在另一个的闭包里：假设我们有局部闭子集A和B，如果A ⊆ cl(B)（这里cl表示集合的闭包），或者反过来B ⊆ cl(A)，那么A∪B就是局部闭的。简单说就是一个子集完全落在另一个子集的闭包范围内，这样它们的并集就能凑出「开集 ∩ 闭集」的形式。
• 两个子集闭包的交集等于它们交集的闭包：也就是满足 cl(A) ∩ cl(B) = cl(A ∩ B)，这个条件会限制两个子集的“重叠区域”的闭包特性，避免出现那种分散的结构导致并集没法写成开闭交集的情况。
• 其中一个子集本身是开集或闭集：如果A是开集（开集本身就是局部闭的，因为开集=开集 ∩ 全空间，而全空间是闭集），那A∪B可以表示成(A∪U) ∩ (A∪C)——这里B=U∩C（U开、C闭），A∪U是开集，A∪C是闭集，所以结果自然是局部闭的；如果A是闭集，道理类似，也能推导出并集符合局部闭的定义。
• 在Hausdorff空间中，两个子集都是紧局部闭集：Hausdorff空间里的紧子集本身就是闭集，闭集属于局部闭集，那两个紧子集的并集也是紧的，自然也是闭集，所以肯定是局部闭的。

另外在代数几何这类特定领域里，若两个局部闭子集都是半代数集，它们的并集如果仍是半代数集的话，也会是局部闭的，不过这个属于领域内的特殊情况了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathematrucker