实分析习题：如何完成集合A无下界的反证法证明？

嘿，你已经走对了一大半！咱们来把这个反证法的收尾工作理清楚：

首先回忆反证法的核心逻辑：我们假设存在实数m是集合A的下界，也就是对所有$x\in\mathbb{R}_+$，都有$m \le \frac{5x-2}{x}$。要推翻这个假设，我们只需要找到某个正实数$x_0$，使得$\frac{5x_0-2}{x_0} < m$——这样就和“m是下界”的假设矛盾了，进而证明原命题（集合A无下界）成立。

你现在已经找到了一个x，使得$\frac{5x-2}{x} = m$，那接下来的关键就是：选一个比这个x更小的正实数。

先给你个更直观的小技巧：先把原式化简一下，$\frac{5x-2}{x} = 5 - \frac{2}{x}$。是不是一下子就清晰了？当x是正实数时，x越小，$\frac{2}{x}$就越大，$5 - \frac{2}{x}$就会越小，甚至可以无限趋近于负无穷——这就是集合A没有下界的本质。

回到你的反证法步骤：
你已经得到，当$x = -\frac{2}{m-5}$时，$\frac{5x-2}{x} = m$。因为你已经确定$m < 5$，所以这个x是正实数（分母$m-5$是负数，负负得正）。那我们取$x_0 = \frac{1}{2}x$（也就是比x小的正实数），代入计算：
$$
\frac{5x_0 - 2}{x_0} = 5 - \frac{2}{x_0} = 5 - \frac{4}{x}
$$
而根据之前的结果，$5 - \frac{2}{x} = m$，所以$\frac{2}{x} = 5 - m$，代入上式：
$$
5 - \frac{4}{x} = 5 - 2(5 - m) = 2m - 5
$$
现在只要证明$2m -5 < m$就行——因为$m <5$，移项后得到$m <5$，这显然成立！也就是说$\frac{5x_0-2}{x_0} = 2m -5 < m$，这直接和“m是A的下界（所有元素都≥m）”的假设矛盾。

到这里，我们就成功推翻了“存在下界m”的假设，证明了集合A没有下界。

另外，其实还有更直接的思路：对于任意给定的实数m，我们直接解不等式$5 - \frac{2}{x} < m$。因为$m <5$，所以$5 - m >0$，解出来$x < \frac{2}{5 - m}$——只要取x为小于$\frac{2}{5 - m}$的正实数（比如$x = \frac{1}{5 - m}$），就能满足$\frac{5x-2}{x} < m$，这也直接说明不存在这样的下界m。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者The Hokkanen