关于自然数中m>n时m-n∈ℕ的归纳证明的形式化理解问询

我正在尝试理解某个问题解法的核心含义：

从形式化角度来说，我们到底在证明什么？用归纳法做证明时，我总会先明确要证明的谓词。在这个问题里，我猜想对应的谓词应该这么定义：
定义集合 $M(n):={x: x \in \Bbb{N}, x>n}$，然后令谓词：
$$P(n) := [ (m\in M(n) )\implies (m-n\in \Bbb{N}) ]$$

这是我能想到的唯一合理的表述方式。按照给定的证明思路，当我们假设归纳成立时，已知对于自然数$m$，若$m>n$则$m-n\in\Bbb{N}$。但接下来要分析$m>n+1$的情况，这时候会推导得出$m-1>n$，接着就可以套用归纳假设继续证明——不过这里的$m$到底指代什么，我有点模糊。

用我上面写的这种方式来梳理的话，我觉得能更清晰地说明$m$其实是任意比$n$大的自然数。这样的理解到底有没有道理？如果我说的都是无意义的内容，提前跟大家说声抱歉。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Red Banana