关于利用对数方法推导f(z)=z^(1/3)在z=1处满足1^(1/3)=(-1+i√3)/2的幂级数展开的疑问

你用导数直接计算和二项式定理的做法完全是对的，得到的结果$z^{{1/3}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sum_{n=0}}{\infty}{1/3 \choose n}(z-1)^n$完全正确，而且你精准注意到了要乘上题目指定的三次方根分支，这一点非常关键。

至于用对数来推导的思路，其实不用像你一开始那样直接展开指数里的无穷级数（那样会陷入嵌套级数的繁琐计算），我们可以把步骤拆解得更清晰：

1. 确定符合要求的对数分支 #

我们需要满足$\log 1 = 2\pi i$（因为$1^{1/3}=e{\log 1 /3}=e^{2\pi i /3}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$，正好匹配题目要求）。对于$z$在$z=1$的邻域内（避开从1出发沿负实轴的分支割线），这个分支的对数可以写成：
$$\log z = 2\pi i + \sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{n+1}(z-1)^n}{n}$$
这个展开式的来源很简单：标准分支的$\log w$在$w=1$处的展开是$\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{n+1}(w-1)^n}{n}$（此时$\log 1=0$），我们需要的分支只是在这个基础上加上了分支对应的常数项$2\pi i$，以此让$\log 1=2\pi i$。

2. 拆分指数表达式 #

我们知道$z^{1/3}=e{\log z /3}$，把上面的对数展开代入后，利用指数的运算性质$e^{a+b}=ea \cdot e^b$，可以拆成两个部分的乘积：
$$z^{1/3}=e{\frac{2\pi i}{3}} \cdot e^{{\frac{1}{3}\sum_{n=1}}{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(z-1)n}{n}}$$
这里$e^{2\pi i /3}$就是题目要求的$\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$，和你之前用二项式定理得到的系数完全对应。

3. 展开指数部分并衔接二项式级数 #

现在只需要处理$e^{S$，其中$S=\frac{1}{3}\sum_{n=1}}{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(z-1)n}{n}$。回忆指数函数的幂级数展开$e^t=\sum_{k=0}{\infty}\frac{t^k}{k!}$，把$t=S$代入后会得到嵌套级数：
$$e^S = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left( \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{n+1}(z-1)^n}{n} \right)^k$$
看起来复杂，但如果我们合并同次幂的项，最终会发现这个级数的系数和二项式系数$\binom{1/3}{n}$完全一致。这是因为$S=\frac{1}{3}\log(1+(z-1))$，所以$e^S=(1+(z-1)){1/3}$，也就是我们熟悉的二项式展开级数。

本质上，用对数方法最终还是会回到你一开始得到的结果，它的核心价值在于帮你理解分支选择如何通过对数的常数项体现在幂级数中——通过指定对数在$z=1$处的值，我们就能自然得到对应分支的$z^{1/3}$的幂级数展开。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mateo