关于求解函数方程$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$所有解的疑问

嘿，我来帮你搞定这个函数方程的剩余部分！你已经顺利解决了$f(0) \neq -1$的情况，得到了$f(x)=x$这个解，现在咱们来攻克$f(0)=-1$的情形，看看是不是只有$f(x)=-1$这一个可能，或者有没有其他隐藏的解。

先回顾$f(0)=-1$时的初步推导 #

当$f(0)=-1$，我们先把$x=0$代入原方程：

$f(0 \cdot f(y) + f(0+y)) = y(f(0)+1)+f(0)$
化简后得到：$f(f(y)) = y(-1+1) -1$，也就是**$f(f(y)) = -1$对所有$y \in \mathbb{R}$成立**。

这个式子告诉我们：不管$y$取什么实数，把$f(y)$再代入$f$，结果都是$-1$。换句话说，$f$的值域里的任意元素$z$，都满足$f(z)=-1$。

验证常函数$f(x)=-1$是否满足原方程 #

先直接代入试试：

• 左边：$f(xf(y) + f(x+y)) = f(x \cdot (-1) + (-1)) = f(-x-1) = -1$
• 右边：$y(f(x)+1)+f(x) = y(-1+1) + (-1) = -1$

左边等于右边，显然这个常函数是符合原方程的解。

证明不存在其他非恒等于$-1$的解 #

假设存在某个实数$a$，使得$f(a) \neq -1$。根据前面的结论$f(f(y))=-1$，$f(a)$是$f$值域中的元素，所以$f(f(a))=-1$，这没问题，但咱们代入原方程看看会出现什么矛盾：

把$y=0$代入原方程（此时$f(0)=-1$）：

$f(x \cdot f(0) + f(x)) = 0 \cdot (f(x)+1) + f(x)$
化简得：$f(-x + f(x)) = f(x)$

现在回到原方程，令$y = t - x$（这样$x+y=t$），原方程变形为：
$f(x f(t - x) + f(t)) = (t - x)(f(x)+1) + f(x)$

整理右边的式子：
$(t - x)(f(x)+1) + f(x) = t(f(x)+1) + f(x)(1-x) - x$

现在看左边：左边是$f$作用在某个实数上的结果。如果$f$不是常函数，那存在某个$x$使得$f(x)+1 \neq 0$，此时右边是关于$t$的一次函数（因为$t$的系数$f(x)+1 \neq 0$），但左边是$f$的函数值——根据$f(f(y))=-1$，不管左边的参数是什么，$f$的函数值要么是$-1$，要么是值域里的其他元素，但这些元素再代入$f$都会得到$-1$，但左边本身作为$f$的函数值，不可能是一个随$t$变化的一次函数（一次函数不是常数），这就产生了矛盾。

唯一能避免这个矛盾的情况，就是让$t$的系数为$0$，也就是$f(x)+1=0$对所有$x \in \mathbb{R}$成立，即$f(x)=-1$。

最终结论 #

这个函数方程的所有实数解是：

• $f(x) = x$
• $f(x) = -1$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math.enthusiast9