首位非零的8位数排列计数问题求解求助

大家好，我现在碰到一个排列计数的难题，想请各位帮忙看看接下来该怎么推进：

问题描述 #

求由元素2、0、3、4、20、34排列拼接而成的8位数字的个数，要求这个8位数的首位不能为0（注：每个元素都必须使用一次，拼接后总位数刚好是8位）。

我的思路进展 #

1. 首先计算了首位非零的元素总排列数：
   因为首位不能选单个元素[0]，所以首位有5种可选元素（2、3、4、20、34），剩下的5个元素全排列，得到总排列数为 5 × 5! = 600。

2. 接下来定义了两个需要考虑的重复情况：

   • 设 n(A) 为单个元素[2]和[0]按顺序拼接成20的排列数：这时候相当于我们的元素变成了[20]、[20]、[3]、[4]、[34]，共5个元素，其中有两个相同的[20]，所以排列数是 5! / 2! = 60（除以2!是因为两个[20]是相同的，交换它们不会产生新排列）。
   • 设 n(B) 为单个元素[3]和[4]按顺序拼接成34的排列数：类似地，元素变成[2]、[0]、[34]、[20]、[34]，排列数为 5! / 2! = 60。
   • 设 n(A∩B) 为同时满足上述两种情况的排列数：也就是[2]和[0]拼成20，[3]和[4]拼成34，此时元素为[20]、[20]、[34]、[34]，共4个元素，排列数是 4! / (2! × 2!) = 6（除以两个2!是因为有两组相同元素）。

现在我卡在这里了，不知道该怎么用这些数值推导出最终的8位数个数，有没有大佬能指点一下下一步该怎么做？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathophile