求反余弦函数$y = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\{x\}}\right)$的定义域

嘿，我来帮你理清这个问题～首先你第一步的不等式就搞错啦，反余弦函数$\cos^{-1}(z)$的定义域是自变量z必须落在[-1,1]之间，也就是这里的$\frac{1}{{x}}$要满足$-1 \leq \frac{1}{{x}} \leq 1$，而不是${x}$在这个区间里，这是核心误区哦。

接下来我们结合分数部分函数${x}$的性质一步步分析：

• 首先，分式$\frac{1}{{x}}$要有意义，分母不能为0。而${x}$（分数部分函数）的定义是${x} = x - \lfloor x \rfloor$，只有当x是整数时，${x}=0$，所以首先x不能是整数，此时${x}$的取值范围是$(0,1)$。

• 然后看反余弦的要求：$-1 \leq \frac{1}{{x}} \leq 1$。因为${x}$是$(0,1)$之间的正数，所以$\frac{1}{{x}}$肯定是大于1的正数（比如${x}=0.5$时，$\frac{1}{0.5}=2$；${x}=0.9$时，$\frac{1}{0.9}≈1.11$）。这时候：

  • 左边的$-1 \leq \frac{1}{{x}}$肯定成立，毕竟正数都比-1大；
  • 右边的$\frac{1}{{x}} \leq 1$却永远不满足，因为我们已经知道$\frac{1}{{x}}>1$。

这么一来，不管x取什么实数，要么x是整数导致分式无意义，要么x不是整数但$\frac{1}{{x}}$大于1，超出反余弦的定义域。所以这个函数的定义域是空集，也就是没有任何实数x能让这个函数有定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SUPER