关于处处不连续周期函数是否必无最小正周期的证明与反例问询

嘿，我最近在琢磨周期函数相关的问题，想过来请教下各位：

给定一个处处不连续且周期的函数，我们能否判定它一定没有最小正周期？如果可以，请给出证明；如果不行，请提供对应的反例。

我之前想到了狄利克雷函数（Dirichlet function），它是处处不连续的周期函数，而且确实没有最小正周期——所有正有理数都是它的周期，而正有理数里不存在最小的那个。但这让我产生了疑问：这个结论是不是对任意处处不连续的周期函数都成立？我目前只熟悉狄利克雷函数这一个处处不连续的周期函数，实在没思路理清这个问题，希望能得到大家的解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xldd