关于证明不存在光滑函数f:ℝ\{0}→ℝ满足df=ω的困惑

嗨，我完全懂你现在的困惑——你算出了两个局部看起来能满足$df=\omega$的表达式，但怎么就全局不存在这样的光滑函数呢？这其实是微分形式里闭形式与恰当形式关系的经典问题，核心问题出在定义域的拓扑性质上，咱们一步步来拆解：

首先，你得到的两个表达式$f(x,y) = -\arctan\left(\frac{x}{y}\right) + c_1$和$f(x,y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + c_2$，它们确实是局部的原函数——比如在$y>0$的上半平面，$-\arctan(x/y)$是光滑的，它的微分就是$\omega$；在$x>0$的右半平面，$\arctan(y/x)$也满足条件。但问题在于，这两个函数没法无缝拼接成整个$\Bbb{R}^2 - {0}$上的光滑函数：

• $-\arctan(x/y)$在$y=0$处没有定义（或者说不光滑）
• $\arctan(y/x)$在$x=0$处没有定义

更关键的是，咱们可以用环路积分来直接证明全局不存在这样的$f$：假设存在这样的光滑函数$f$，那么根据微分形式的基本性质，对于任何闭合环路$C$，有$\oint_C \omega = \oint_C df = f(C(2\pi)) - f(C(0)) = 0$（因为闭合环路的起点和终点是同一个点）。

但咱们取单位圆周$C$，参数化为$x=\cos t, y=\sin t$，$t \in [0, 2\pi]$，代入$\omega$计算积分：
$$
\omega = \frac{-y dx + x dy}{x^2 + y^2} = \frac{-\sin t \cdot (-\sin t dt) + \cos t \cdot \cos t dt}{\cos^2 t + \sin^2 t} = (\sin^2 t + \cos^2 t) dt = dt
$$
那么$\oint_C \omega = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi \neq 0$，这就和刚才的结论矛盾了！这直接说明$\omega$不可能是某个全局光滑函数的微分，也就是不存在这样的$f$。

再补充一点理论背景：微分形式里有个结论，在单连通区域上，闭形式一定是恰当形式，但$\Bbb{R}^2 - {0}$不是单连通的（你可以绕原点画一个环路，没法连续收缩成一个点），所以这里的闭形式$\omega$（可以验证$d\omega=0$）就不是恰当形式，自然不存在全局的原函数$f$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Superdivinidad