关于OEIS A000422序列中非1元素是否为完全幂的技术问询

我最近在研究OEIS A000422这个序列——它的定义是把正整数从n倒序拼接至1，生成的序列就是：1, 21, 321, 4321, …。现在有个疑问：除了第一个元素1之外，这个序列里还有没有完全幂？

已推导的模条件分析 #

• 若序列中存在完全平方数，那么n必须满足 n ≡ 1 (mod 3)：因为当n≡1 mod3时，对应的数≡1 mod3，而完全平方数模3的结果只能是0或1，这符合完全平方数的模特性；同时这种情况也有可能对应完全立方数。
• 如果序列中的数能被9整除，要成为完全平方数的话，n需要满足 n ≡ 8 (mod 9)。
• 如果序列中的数能被27整除，要成为完全立方数的话，n需要满足 n ≡ 26 (mod 27)。

更高次幂的结论 #

对于更高次的奇素数幂，目前我还没有明确的结论，但有一点可以确定：除了1之外，序列里的数不可能是5次幂。原因是21不是模100下的5次幂剩余，而序列中n≥2的数末两位都是21，因此不可能满足5次幂的模要求。

候选范围总结 #

综合上述分析，序列中的数要成为完全幂，n必须满足以下条件之一：

• n ≡ 1 (mod 3)
• n ≡ 8 (mod 9)
• n ≡ 26 (mod 27)

实际验证情况 #

我用Pari GP工具检查了大量项，截至目前还没有找到除了1之外的完全幂。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thirdy Yabata