包含单位正方形[0,1]²所有有理点的闭集的包含性证明求助

问题描述 #

假设$A$是$\mathbb{R}^{2$的闭子集，且包含单位正方形$[0,1]}2$中的所有有理点（即坐标均为有理数的点）。证明$[0,1]^2\subset A$。

我的尝试 #

我自己梳理了部分思路，但卡在了后半段：

• 先假设结论不成立，即$[0,1]^2\not\subset A$，那么必然存在某个点$(x,y)\in [0,1]^2\setminus A$。这个点至少有一个坐标是无理数——毕竟$A$已经包含了正方形里所有坐标都是有理数的点。
• 因为$A$是闭集，它的补集$\mathbb{R}^2\setminus A$就是开集。根据开集的定义，存在一个以$(x,y)$为中心、半径为$r$的开球$B((x,y),r)$，完全包含在$\mathbb{R}^2\setminus A$里，也就是说这个开球和$A$没有任何交集。

到这一步我就不知道该怎么往下走了，有没有前辈能指点一下后续的推导方向？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1277306