关于生成函数展开Smirnov词出现非期望项的原因及代数推导请求

嘿，我正在自学解析组合学，最近碰到个绕不开的问题，想请你帮忙解惑。

根据我看到的定理（原参考资料第205页），以下生成函数应该对应无连续相同元素的Smirnov词：
$$W\bigg(z,\frac{az}{1+az},\frac{bz}{1+bz},\frac{cz}{1+cz}\bigg)=\bigg(1-\frac{az}{1+az}-\frac{bz}{1+bz}-\frac{cz}{1+cz}\bigg)^{-1}$$

但实际验证时，我先试了双字母的情况：
$$W\bigg(z,\frac{az}{1+az},\frac{bz}{1+bz}\bigg)=\bigg(1-\frac{az}{1+az}-\frac{bz}{1+bz}\bigg)^{-1}= \frac{1+az+bz+abz^2}{1-abz2}$$
展开这个式子后，居然出现了像$aab$这种带有连续相同字母的词——这明显不符合Smirnov词的定义啊。

接着我试了三字母的情况，把生成函数化简后得到：
$$\frac{1+(a+b+c)z+(ab+ac+bc)z^2+abcz3}{1-(ab+ac+bc)z^2-(abc+acb)z3}$$
展开后同样出现了$bba$、$ccb$、$abbac$这类不符合要求的词。这就让我彻底懵了：按定理表述，这个生成函数应该枚举所有Smirnov词才对，为啥展开会冒出这些“非期望项”？能不能帮我理解一下，明明展开有这些“坏”词，这个生成函数却还能正确对应Smirnov词？

另外还有个代数推导的请求：能不能不用我原来的方法，从代数上证明，当把$\frac{a}{1+a}$、$\frac{b}{1+b}$替换到$W(z,a,b)=\frac{1}{1-(a+b)z}$中时，最终能得到Smirnov词的生成函数？

我知道$\frac{a}{1+a} = a - a^2 + a^3 - a^4 + \dots$，$\frac{b}{1+b}$也有类似的展开式，代入后得到的是$\sum_{n \geq0}\left(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\right)^n$，但我搞不清楚这里面的各项是怎么互相抵消，最后只剩下$a$、$b$、$ab$、$ba$这类符合要求的Smirnov词的。麻烦你帮我展示这个代数推导的过程吧！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1277464