关于保连续性映射的同胚性及连续性的拓扑学求证问询

嘿，这个问题问得相当到位——先直接给结论：不是所有保连续性的映射都是连续的，我们可以从反例、特殊情况这两个角度来拆解。

首先把定义再明确下，避免歧义：

设X、Y是拓扑空间，称映射$f:X\rightarrow Y$是保连续性的，如果对每一个连续曲线$\gamma:\mathbb{R}\rightarrow X$，复合映射$f\circ\gamma:\mathbb{R}\rightarrow Y$都是连续的。

你已经知道连续映射一定是保连续性的，这是拓扑学里的基本结论：连续映射的复合依然连续，没毛病。但反过来的话，我们能构造出明确的反例：

一个经典反例 #

取$X$为实数集$\mathbb{R}$，赋予余可数拓扑——也就是$X$中的开集要么是空集，要么是补集为可数集的集合；再取$Y$为实数集$\mathbb{R}$，赋予我们熟悉的欧几里得（通常）拓扑。
定义$f:X\rightarrow Y$为恒等映射，也就是$f(x)=x$对所有$x\in X$成立。

先看$f$是不是保连续性的：

• 对于连续曲线$\gamma:\mathbb{R}$（通常拓扑）$\rightarrow X$（余可数拓扑），比如$\gamma(x)=x$：对$X$中的任何开集$U$（即$U=X\setminus C$，$C$是可数集），$\gamma^{-1}(U)=\mathbb{R}\setminus C$，而$\mathbb{R}\setminus C$在通常拓扑里是开集（可数集是闭集，补集自然是开的），所以$\gamma$是连续的。此时$f\circ\gamma(x)=x$，在$Y$的通常拓扑下显然连续。
• 对于常值映射$\gamma(x)=c$，$f\circ\gamma(x)=c$，自然也是连续的。

所有连续$\gamma:\mathbb{R}\rightarrow X$对应的$f\circ\gamma$都连续，也就是说$f$是保连续性的。

但$f$作为$X$（余可数）到$Y$（通常）的映射，不是连续的：比如取$Y$中的开集$(-1,1)$，它在$f$下的原像就是$X$中的$(-1,1)$，但在$X$的余可数拓扑里，$(-1,1)$的补集是$\mathbb{R}\setminus(-1,1)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$，这是个不可数集，所以$(-1,1)$不是$X$中的开集——这就违反了连续映射的核心定义（开集的原像必须是开集），所以$f$不连续。

那什么时候保连续性映射一定连续？ #

当然也有一些特殊情况，反过来是成立的：

• 当$X$是可度量化空间时：保连续性的映射$f$一定是连续的。因为可度量化空间中，映射连续等价于序列连续（即$x_n\rightarrow x$蕴含$f(x_n)\rightarrow f(x)$）。如果$f$不连续，那存在序列$x_n\rightarrow x$但$f(x_n)\nrightarrow f(x)$，我们可以构造一条连续曲线$\gamma:\mathbb{R}\rightarrow X$，让它穿过所有$x_n$并收敛到$x$，这样$f\circ\gamma$就会在对应点不连续，和$f$是保连续性的前提矛盾。
• 当$X$是紧生成空间（比如局部紧Hausdorff空间、CW复形等）时：保连续性的映射也一定是连续的。因为紧生成空间的性质是，映射连续当且仅当它在每个紧子集上的限制是连续的，而$\mathbb{R}$中的紧子集是闭有界区间，任何紧子集都可以被连续曲线“覆盖”，所以保连续性的映射在每个紧子集上连续，从而整体连续。

总结一下：一般拓扑空间中，保连续性映射未必连续，但在一些性质较好的空间（可度量化、紧生成等）里，两者是等价的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者paad89