水平储罐球冠段热传导模型中的倒弧长积分求解问询
各位好，我目前在推导一个水平储罐球冠段的热传导模型，卡在了几何积分求解的环节，想请大家帮忙出出主意。
我要计算球冠段上离散位置之间的热传导量（参考几何示意图），用到的热传导基本方程和圆台的应用形式类似：
$$Q = \lambda , A(x) , \frac{dT}{dx} ; ; ; \to ; ; ; Q = f(x_a,x_b,...); ? $$
变量与参数说明
- $Q$：热流量
- $\lambda$：热传导系数
- $A(x)$：热传导截面面积
- $T$：温度
- $x$：垂直坐标
- $t$：罐壁厚度（薄壁假设）
- $R_d$：球冠曲率半径
- $d$：球心到切割面的距离
- $R_c$：储罐圆柱段半径
推导过程
因为是垂直切片，我用垂直坐标$x$来确定对应位置的截面面积$A(x)$，根据几何关系：
$$r(x) = \sqrt{{R_d}^2 - x^2}$$
$$ A(x) = s(x) , t = r(x) , \theta(x) , t= \sqrt{{R_d}^2 - x^2} ; ; 2 \arccos \left( \frac{d}{\sqrt{{R_d}^2 - x^2}} \right) , t $$
把$A(x)$代入热传导方程后整理得到：
$$ Q = \lambda , \sqrt{{R_d}^2 - x^2} ; ; 2 \arccos \left( \frac{d}{\sqrt{{R_d}^2 - x^2}} \right) , t , \frac{dT}{dx}$$
$$ \iff \frac{1}{\sqrt{{R_d}^2 - x^2} , \arccos \left( \frac{d}{\sqrt{{R_d}^2 - x^2}} \right)} , dx = \frac{2 \lambda t}{Q} , dT$$
$$ \Rightarrow \int_{x_a}^{x_b} \frac{1}{\sqrt{{R_d}^2 - x^2} , \arccos \left( \frac{d}{\sqrt{{R_d}^2 - x^2}} \right)} , dx = \frac{2 \lambda t}{Q} \int_{T_a}^{T_b} dT $$
遇到的问题
现在我完全不知道怎么求解左边这个积分的解析解。之前我参考过一些关于这类形状面积和体积计算的帖子（帖子编号2635418和4482377），那些已经帮了我不少，但现在这个是面积的逆形式积分，完全没头绪。
想请教大家：
- 这个积分有没有解析解？
- 有没有合适的坐标变换方法，能把积分转化为可求解的形式？
- 如果没有解析解，是不是只能在每个点用泰勒展开这类方法做近似？
非常感谢各位的指点和帮助！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jonas
