关于从双曲线标准方程推导$y=\dfrac{1}{x}$的技术咨询
我在网上找不到从双曲线标准方程 $\dfrac{x2}{a2}-\dfrac{y2}{b2}=1$ 推导 $y=\dfrac{1}{x}$ 的过程。
我自己尝试推导但没成功，现在怀疑是不是必须加额外条件才行——比如假设 $a=b$ 之类的。
我理解 $y=\dfrac{1}{x}$ 应该是标准双曲线坐标轴旋转一定角度（比如45度）后的形式，但不知道怎么用数学方式表达出来，可能需要对标准方程里的x和y做变换？
重要更新：我已经成功推导出焦点在X轴上的双曲线标准方程（定义是到两个定点的距离差的绝对值为定值）。那如果假设焦点在第一、第三象限的话，是不是就能用同样的方法推导出 $y=\dfrac{1}{x}$ 呢？
嘿，这个问题抓得很准！你猜的完全没错，$y=\frac{1}{x}$ 确实是等轴双曲线（也就是必须满足$a=b$这个额外条件）旋转45度后的结果，而且不管是用坐标旋转法，还是从焦点定义出发，都能推导出它，下面一步步给你理清楚：
方法一：坐标旋转法从标准等轴双曲线推导
首先，先把标准双曲线简化为等轴双曲线：当$a=b$时，标准方程变为 $x^2 - y^2 = a2$，为了计算方便，我们可以令$a2=2$（后续会看到这样选的好处），得到：
$$x^2 - y^2 = 2$$
接下来用坐标轴旋转变换：把原坐标系绕原点逆时针旋转45°（也就是$\theta=\frac{\pi}{4}$），此时原坐标$(x,y)$和新坐标$(x',y')$的转换关系是：
$$
x = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}}, \quad y = \frac{x' + y'}{\sqrt{2}}
$$
把这两个式子代入等轴双曲线的方程：
$$
\left( \frac{x' - y'}{\sqrt{2}} \right)^2 - \left( \frac{x' + y'}{\sqrt{2}} \right)^2 = 2
$$
展开并化简：
$$
\frac{(x'^2 - 2x'y' + y'^2) - (x'^2 + 2x'y' + y'^2)}{2} = 2 \
\frac{-4x'y'}{2} = 2 \
-2x'y' = 2 \
x'y' = -1
$$
如果我们把新坐标的$x'$和$y'$直接换成常用的$x$和$y$，就得到$xy=-1$，它和$y=\frac{1}{x}$只是关于x轴对称的双曲线，本质属于同一类反比例函数形式的双曲线。
方法二：从焦点定义直接推导
你已经掌握了焦点在x轴上的双曲线推导，那如果把焦点放在第一、第三象限，比如设两个焦点为$(c,c)$和$(-c,-c)$，根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离差的绝对值为定值（设为$2a$）的点的轨迹，可以列出等式：
$$
\left| \sqrt{(x - c)^2 + (y - c)^2} - \sqrt{(x + c)^2 + (y + c)^2} \right| = 2a
$$
接下来按照推导标准双曲线的步骤：先把其中一个根号移到等式一边，再两边平方，展开后整理，再平方一次去掉剩下的根号，最后化简。当我们取$c2=2a2$（这其实就是等轴双曲线的条件，焦点到中心的距离$c$和实半轴$a$满足$c2=a2+b2$，等轴双曲线$a=b$，所以$c2=2a^2$），最终会得到：
$$xy = \frac{a^2 - c^2}{2}$$
代入$c2=2a2$，就会得到$xy = -\frac{a^2}{2}$，这就是反比例函数形式的双曲线，和$y=\frac{1}{x}$只是常数项不同，本质一致。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者sahgasdvsadgv
