实直线上全凝聚点子集的贝尔空间属性问询

嘿，这个问题挺有意思的——实直线里每个点都是凝聚点的子集，是不是一定是贝尔空间？答案是不一定，咱们慢慢说清楚：

先快速过下关键定义怕你记混：

• 凝聚点：X里的点x要是凝聚点，意思是x在实直线里的任何邻域，都包含不可数个X里的点；
• 贝尔空间：简单理解就是，空间里可数个“处处都有”的开集交起来，还得是“处处都有”的；或者换个说法，空间里任何非空的开区域，都不能被可数个“挤在角落、占不住地方”的小集合（无处稠密集）给覆盖完。

先看正面例子：比如无理数集ℝ\ℚ。它每个点都是凝聚点——毕竟随便找个开区间，里面肯定有不可数个无理数；同时它也是贝尔空间，因为它是实直线这个贝尔空间的Gδ子集（就是去掉每个有理数点的那些开集的交集，可数个开集交出来的），而贝尔空间的这类子集本身也会是贝尔空间。

但重点来了，存在反例！我们能造出一个实直线的子集X，满足每个点都是凝聚点，但X本身不是贝尔空间：

大致的构造思路是这样的：

• 我们要做一个不可数的“贫集”（第一纲集，就是可数个无处稠密集的并）X，同时保证X里每个点的任何邻域，都能找到不可数个X里的点。
• 具体操作的话，可以把X拆成可数个类似康托尔集的集合——每个都是不可数的闭集，在实直线里挤在角落（无处稠密），但这些集合互相搭配得足够“密集”，使得X里不管哪个点，随便找个小邻域，里面都能碰到不可数个X的点。
• 这样的X本身是可数个无处稠密集的并，也就是自己是个贫集。那作为拓扑空间，X整个空间就是个非空开集，但它自己是贫集——这就违反了贝尔空间的要求，所以X不是贝尔空间。

所以结论就是：满足条件的子集不一定是贝尔空间，既有正面例子也有反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kiran Antony