平面n边形与空间多面体中顶点单位向量和的模长不等式证明及核心存在性前提的问询

问题背景 #

我碰到了两个相似的不等式证明题，一个针对空间多面体，一个针对平面n边形，具体内容如下：

空间多面体版本 #

给定一个有$n$个顶点的多面体，内部有一点$O$。设$e_i$是从$O$指向第$i$个顶点的单位向量，需要证明：
$$ |e_1+\ldots+e_n|<n-2. $$
这是俄文书籍《如何解决非标准问题》第11页的习题，我在好几个论坛都见过这个问题，但从来没找到完整的解答。

平面n边形版本 #

平面上的类似问题：给定一个$n$边形，内部有一点$O$。设$e_i$是从$O$指向第$i$个顶点的单位向量，证明：
$$ |e_1+\ldots+e_n|<n-2. $$

我的思路尝试 #

我一开始想着能不能用“球面上四点相关结论”来解决，平面情形的推理大概是这样的：

• 令$e_i=\vec{OA_i}$（$i=1,\ldots,n$）
• 假设存在三个顶点$A,B,C\in{A_1,\ldots,A_n}$，使得$O$落在$\triangle ABC$内部，为了方便推导，我直接把这三个点设为$A_1,A_2,A_3$
• 接下来就能得到：
  $$
  |e_1+\ldots+e_n|\leq|e_1+e_2+e_3|+(|e_4|+\ldots+|e_n|)<1+(n-3)=n-2.
  $$
  空间的情况思路差不多，只要找到四个顶点，让$O$在它们构成的四面体内部就行。

卡住的核心疑问 #

这个推理逻辑上是通顺的，但我一直卡在这里搞不明白：

• 平面情形下，为什么一定存在这样三个顶点，能让$O$落在它们构成的三角形内部？
• 空间情形下，为什么一定存在这样四个顶点，能让$O$落在它们构成的四面体内部？

另外，如果有其他不依赖这个存在性前提的解法，我也超级欢迎！

补充说明（2024/01/11） #

我发现不管n边形或者多面体是凸的还是非凸的，这个结论好像都成立——所有顶点都在以$O$为原点的射线上，这类图形有很多，但向量和只和射线的方向有关，我还附了一张图来解释这个点：

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kabenyuk