多项式除法求解咨询：$(x^2+1)^{86}$除以$x^2-x+1$

嘿，别发愁，这个问题完全不用硬算86次展开，我们用多项式模运算的思路就能轻松搞定，比直接长除法高效太多了！

• 先抓核心替换式：从除数$x^2 - x + 1$出发，因为$x^2 - x + 1 \equiv 0$（模该多项式），移项可得x^2 ≡ x - 1，这是我们降次的关键。
• 简化被除数的基本单元：把$x^{2+1$用上面的替换式代入，得到$x}2 + 1 \equiv (x - 1) + 1 = x$。也就是说，$(x^{2+1)$在模$x}2 - x +1$下等价于$x$，那$(x²⁺¹⁾{86}$就等价于$x^{{86}$（模该多项式），问题转化为求$x}{86}$除以$x^2 -x +1$的余数。
• 找幂次周期简化计算：利用$x^2 \equiv x -1$，两边乘$x$得$x^3 \equiv x(x-1) = x^2 -x$，再把$x^{2$换成$x-1$，就能算出$x}3 \equiv (x-1) -x = -1$。这意味着$x$的幂次每3次就会循环成$-1$，周期是3。
• 计算最终余数：$86 = 3 \times 28 + 2$，所以$x^{86} = (x³⁾{28} \times x^2 \equiv (-1)^{28} \times x^2 = 1 \times x^{2$，再代入$x}2 \equiv x-1$，最终得到$x^{86} \equiv x - 1$。

总结一下：$(x²⁺¹⁾{86}$除以$x^2 -x +1$的余数是$x-1$，商式可以表示为$\frac{(x²⁺¹⁾{86} - (x-1)}{x^2 -x +1}$（如果不需要具体展开的话，这样写就足够了）。

要是你想验证方法的正确性，可以试试小指数，比如$(x²⁺¹⁾3$，按我们的方法算得余数是$-1$，直接展开后用长除法验证，结果完全一致，说明思路没问题！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hate Love