关于Spivak《流形上的微积分》定理3-13证明中导数推导逻辑的疑问

嘿，最近在啃Michael Spivak的《Calculus on Manifolds》，卡在定理3-13（变量替换）的证明环节了，想跟大家聊聊我这儿的困惑。

先把作者的推导片段贴出来：

Since $$(g^n\circ h^{{-1})'(h(a))=(g}n)'(a)\cdot [h'(a)]^{-1}=(gn)'(a),$$ we have $D_n(g^n\circ h^{{-1})(h(a))=D_ng}n(a)=1$, so that $k'(h(a))=I$.

我实在搞不懂：作者为什么要特意计算$D_n(g^n\circ h^{-1})(h(a))$，再用这个结论推出$k'(h(a))=I$？

我自己梳理了一下推导过程：因为$g'(a)=I$，所以$$(g^n\circ h^{{-1})'(h(a))=(g}n)'(a)\cdot [h'(a)]^{-1}=(gn)'(a)＝(0,\dots,0,1)$$。而$k(x)$的定义是$(x^1,\dots,x{n-1},g^n(h{-1}(x)))$，从这个完整的导数结果其实直接就能得出$k'(h(a))=I$了啊。

而且我还注意到，$(g^n\circ h^{{-1})'(h(a))$包含的信息明显比$D_n(g}n\circ h^{-1})(h(a))$多——我们要确定$k'(h(a))$这个矩阵，得知道它的第n行是什么，可只知道(n,n)位置的元素是1肯定不够。更让我疑惑的是，作者明明已经清楚$k'(h(a))$的第n行结构了，为啥还要多算这一步？

有没有大佬能帮我捋捋作者这儿的意图呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者佐武五郎