通过转化为线性方程组求解非线性方程组

嘿，我来帮你一步步拆解这个非线性方程组的解法～ 这类由变量乘积、幂次构成的方程组，咱们可以通过取对数的技巧把它转化为线性方程组来解，但得先把特殊情况（变量为0）考虑周全，不能漏掉哦！

情况1：存在变量为0的解 #

假设其中任意一个变量为0：

• 若x=0，代入第三个方程z = xy得z=0；再代入第二个方程y = x²z³得y=0，最终得到解(0, 0, 0)。
• 同理，若y=0或z=0，代入后都会推导出另外两个变量也为0，所以零解只有(0, 0, 0)这一组。

情况2：所有变量均不为0 #

当x、y、z都不为0时，我们可以对每个方程两边取绝对值（保证对数有意义），再取自然对数（任意底数都可以，只要统一就行）。设：
a = ln|x|，b = ln|y|，c = ln|z|

原方程组取绝对值后变为：

|x| = |y|³|z|
|y| = |x|²|z|³
|z| = |x||y|

对每个方程取对数，就转化成了线性方程组：

• a = 3b + c
• b = 2a + 3c
• c = a + b

接下来解这个线性方程组：

1. 把第三个方程c = a + b代入第一个方程：
   a = 3b + a + b → 0 = 4b → b = 0
2. 把b=0代入第三个方程，得c = a
3. 再把b=0和c=a代入第二个方程：
   0 = 2a + 3a → 0 = 5a → a = 0，进而c=0

所以ln|x|=0 → |x|=1，即x=±1；同理y=±1，z=±1。

不过这里要注意：取对数的时候丢掉了符号信息，所以得把这些符号组合代回原非线性方程组验证，筛选出真正成立的解：

• (1, 1, 1)：代入原方程组，三个等式都成立，是有效解。
• (1, -1, -1)：代入验证：
  • 第一个方程：1 = (-1)³*(-1) = 1，成立；
  • 第二个方程：-1 = 1²*(-1)³ = -1，成立；
  • 第三个方程：-1 = 1*(-1) = -1，成立。
• 其他符号组合（比如(-1,1,1)、(-1,-1,-1)等）代入后都会出现等式不成立的情况，直接排除。

最终所有解 #

综上，原方程组的解为：

• (0, 0, 0)
• (1, 1, 1)
• (1, -1, -1)

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mingg