关于Mellin变换Parseval型等式的推导、积分交换合理性及适用条件的技术问询

各位大佬好，我最近研究Titchmarsh的The Theory of the Riemann Zeta-Function一书时，遇到了Eq. 2.15.10这个没有给出证明的Mellin变换相关等式，自己折腾了一阵没搞明白，想请教大家：

首先明确原文里的变换关系：
设$f(x)$和$F(s)$是一对Mellin变换对，满足
$$F(s) = \int_0^{\infty} f(x) x^{s-1} dx, \ \ \ f(x) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma- i \infty}^{\sigma+ i \infty} F(s) x^{-s} ds.$$
在所谓的“适当条件”下，有如下等式成立：
$$\dfrac{1}{2 \pi i} \int_{c- i \infty}^{c+ i \infty} F(s) G(w-s) ds = \int_0^{\infty} f(x) g(x) x^{w-1} dx.$$

我自己先尝试从计算$\int_0^{\infty} f(x)g(x)x^{w-1}dx$入手推导，但始终没得到预期结果，特别希望能拿到一个严谨的证明。之后我在网上搜了一圈，手头的书籍也翻了，都没找到相关的详细解释。

我的两个核心疑问是：

• 这个等式具体是怎么推导出来的？
• 这里提到的“适当条件”到底指什么？我猜测会不会是要根据$f$和$g$的Mellin变换收敛横坐标$\sigma_f$和$\sigma_g$来确定积分路径的$c$值？

另外补充一下赏金相关的说明：之前有位叫“Daigaku no Baku”的用户给出了部分答案，但我还需要两个关键部分才能得到完整解答：一是要证明“Daigaku no Baku”的答案中用到的积分交换操作是合理的；二是要验证关于$c$的取值区间$\max (\alpha_1, 1- \beta_2 ) < c < \max ( \beta_1, 1- \alpha_2)$的有效性（这个区间和Mellin变换的Parseval定理相关，也是我原问题里第二个疑问的核心）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ali