整数奇偶性与模运算的命题验证问询

咱们来一步步分析这个问题：已知整数$x, y, z$满足$z(x+y)+y(x+z)$是奇数，现在要判断下面三个命题哪些成立：

• $x^2+yz$是奇数
• $y^2+xz$是奇数
• $z^2+xy$是偶数

我一开始先对原式做了模2化简，毕竟奇偶性问题用模2分析最直接：
$$z(x+y)+y(x+z) = x(y+z) + 2yz\equiv x(y+z)\equiv 1\pmod {2}$$
这里$2yz$是偶数，模2后等于0，所以式子简化成$x(y+z)\equiv1\pmod2$。这就意味着两个关键结论：

• x必须是奇数（只有奇数乘奇数才会得到奇数）
• y和z的奇偶性相反（两个数相加为奇数，必然一个奇一个偶），也就是$y\equiv1-z\pmod{2}$

接下来逐个验证三个命题：

1. 验证$x^2+yz$的奇偶性：
   因为x是奇数，所以$x^2\equiv1\pmod2$。把$y\equiv1-z\pmod2$代入式子：
   $$x^2+yz\equiv 1+(1-z)z\pmod{2}$$
   展开$(1-z)z$得到$z-z^{2$，而模2下$z}2\equiv z$，所以$z-z^2\equiv0\pmod2$，整个式子就变成$1+0\equiv1\pmod2$，说明这个结果是奇数，命题成立。

2. 验证$y^2+xz$的奇偶性：
   模2下任何整数的平方和自身奇偶性一致（比如$2^{2=4\equiv0\equiv2$，$3}2=9\equiv1\equiv3$），所以$y^2\equiv y\pmod2$；又因为x是奇数，$xz\equiv z\pmod2$。代入$y\equiv1-z\pmod2$：
   $$y^2+xz\equiv y+z\equiv (1-z)+z\pmod{2}$$
   计算后得到$1-z+z=1$，模2结果为1，说明这个结果也是奇数，命题成立。

3. 验证$z^2+xy$的奇偶性：
   同样，模2下$z^2\equiv z$，x是奇数所以$xy\equiv y\pmod2$。代入$y\equiv1-z\pmod2$：
   $$z^2+xy\equiv z+y\equiv z+(1-z)\pmod{2}$$
   计算得$z+1-z=1$，模2结果为1，说明这个结果是奇数，而命题说它是偶数，所以这个命题不成立。

总结一下：前两个命题成立，第三个命题不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1270647