关于证明$f(x)=\vert x \vert^\alpha$的傅里叶系数满足$c_1\vert n \vert^{-1-\alpha} \leq \vert c_n(f) \vert \leq c_2\vert n \vert^{-1-\alpha}$的技术求助

我现在卡在证明下面这个结论上了，希望能得到大家的帮助：

设$f(x)=\vert x \vert^\alpha$，$x\in[-\pi,\pi]$，其中$0<\alpha<1$。需要证明当$n\rightarrow\infty$时，存在常数$0<c_1<c_2$，使得
$$c_1\vert n \vert^{-1-\alpha} \leq \vert c_n(f) \vert \leq c_2\vert n \vert^{-1-\alpha}$$
这里$c_n(f)$是$f$的第$n$个傅里叶系数。

我已经证明了$\vert x \vert^{\alpha}$满足Holder条件，并且做了如下推导（针对$n>0$的情况）：
\begin{align}
\vert c_n(f) \vert &= \frac{1}{2\pi}\left\vert \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx \right\vert \
&= \frac{1}{2\pi} \left\vert \sum_{j=0}^{n-1} \int_{-\pi+\frac{2\pi j}{n}}^{-\pi+\frac{2\pi(j+1)}{n}} \left(f(x)-f(-\pi+\frac{2\pi j}{n})\right)e^{-inx} dx \right\vert \
&\leq \frac{1}{2\pi} \sum_{j=0}^{n-1} \int_{-\pi+\frac{2\pi j}{n}}^{-\pi+\frac{2\pi(j+1)}{n}} \left\vert f(x)-f(-\pi+\frac{2\pi j}{n}) \right\vert dx \
&\leq \frac{1}{2\pi} \sum_{j=0}^{n-1}\frac{2\pi}{n} \left(\frac{2\pi}{n}\right)^\alpha,,
\end{align}
但这样只能得到$\mathcal{O}(n^{{-\alpha})$的上界，请问我该怎么改进推导，得到$n}{-1-\alpha}$阶的上界呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sh7