关于连续局部鞅在首达停时停止后是否为鞅的疑问

嘿，这个问题抓得很准，我来帮你拆解清楚～

首先直接给结论：你的结论是对的，而且你担心的$S_n\uparrow\infty$不成立的情况其实不会发生在连续局部鞅上

1. 为什么$X^{S_n}$是鞅？ #

你给出的$\mathbb{E}[\sup_{0\leq s \leq t} |X^{S_n}_s|]\leq n<\infty$这个条件是核心关键——它说明停止后的过程$X^{S_n}$是一致有界的。

对于连续局部鞅$X$，我们知道存在局部化停时序列$\tau_k\uparrow\infty$ a.s.，使得$X^{{\tau_k}$是标准鞅（这是连续局部鞅的基本局部化性质）。现在考虑双重停止后的过程$X}{S_n\wedge\tau_k}$，根据鞅的停止定理，它仍然是鞅。

当$k\to\infty$时，$\tau_k\to\infty$ a.s.，所以$X^{{S_n\wedge\tau_k}$会几乎处处收敛到$X}{S_n}$。又因为整个序列被常数$n$控制，我们可以用控制收敛定理来交换极限和条件期望：
$$\mathbb{E}[X^{S_n}_t\mid\mathcal{F}s] = \lim{k\to\infty}\mathbb{E}[X^{S_n\wedge\tau_k}_t\mid\mathcal{F}s] = \lim{k\to\infty}X^{S_n\wedge\tau_k}_s = X^{S_n}_s$$
这就严格证明了$X^{S_n}$是鞅。

2. 为什么$S_n\uparrow\infty$ a.s.必然成立？ #

你顾虑的这个点其实是多余的，因为连续局部鞅的路径具有连续性。对任意固定的样本路径$\omega$，函数$t\mapsto X_t(\omega)$是$[0,\infty)$上的连续函数，那么对任意有限的$T>0$，$X_t(\omega)$在闭区间$[0,T]$上一定有界（连续函数在闭区间上的有界性是基本性质）。也就是说，总能找到某个$N(\omega,T)$，当$n>N(\omega,T)$时，$S_n(\omega)>T$。让$T$趋向无穷大，自然就得到$S_n(\omega)\uparrow\infty$几乎处处成立。

所以不存在$S_n$不趋于无穷的例外情况，你的顾虑可以彻底打消啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J.R.