关于$a^m+b^m$与$a^m-b^m$的精确因式分解问询

嗨，很高兴能帮你理清这个因式分解的问题！咱们直接针对两种情况给出精确的表达式，还可以结合小例子验证一下：

当$m$为奇数时：$a^m + b^m$的分解式 #

此时$a^m + b^m$可以被$(a+b)$整除，对应的$f(a,b)$是一个交替加减的多项式：
$$a^m + b^m = (a+b)\left(a^{m-1} - a^{m-2}b + a^{m-3}b2 - \dots - ab^{m-2} + b^{m-1}\right)$$
举个实际例子，比如$m=3$（奇数）：
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
展开右边就能验证等式成立，完全符合上面的规律。

当$m$为偶数时：$a^m - b^m$的分解式 #

这种情况下$a^m - b^m$能被$(a+b)$整除，对应的$f(a,b)$同样是交替符号的多项式，只是最后一项符号为负：
$$a^m - b^m = (a+b)\left(a^{m-1} - a^{m-2}b + a^{m-3}b2 - \dots + ab^{m-2} - b^{m-1}\right)$$
比如取$m=4$（偶数）：
$$a^4 - b^4 = (a+b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$$
展开右边计算后，结果正好等于$a^4 - b^4$，验证了这个分解式的正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者motionart