关于F(x)/[x(1-F(x))]期望的命名、关联及有界性的技术问询

让我结合离散概率和生存分析的知识，逐个解答你的问题：

1. $\frac{F(x)}{x(1-F(x))}$ 的期望是否为已知函数？ #

简单来说：没有通用的“已知标准函数”对应这个期望，它完全依赖于你所研究的具体概率分布。

这个期望的定义就是你给出的求和式：
$$
\mathbb{E}\left[\frac{F(X)}{X(1-F(X))}\right] = \sum_{x=X_{\text{min}}}^{X_{\text{max}}} \frac{F(x)}{x(1-F(x))} f(x)
$$

只有针对特定的离散分布，我们才能将其化简为具体的表达式。举个例子：

• 对于几何分布（pmf: $f(x)=(1-p)^{x-1}p$，CDF: $F(x)=1-(1-p)^x$），代入后期望可转化为：
  $$
  \frac{p}{1-p} \sum_{x=1}^\infty \frac{1-(1-p)^x}{x}
  $$
  这个求和式和对数级数相关，但并没有一个简洁的标准函数形式，最终结果是发散的（后面会提到）。
• 对于离散帕累托分布（pmf: $f(x)=\alpha X_{\text{min}}^\alpha / x^{\alpha+1}$，$\alpha>1$），代入后可化简为收敛的级数，结果是关于$\alpha$和$X_{\text{min}}$的表达式，但同样不属于常见的标准函数。

总结：只有针对特定分布，这个期望才能被具体计算，不存在通用的已知函数。

2. 该期望是否与危险率函数（Hazard Function）相关？ #

是的，两者直接相关，我们可以通过危险率函数重新推导这个期望的表达式。

首先回忆离散危险率函数的定义：
$$
h(x) = \frac{f(x)}{1-F(x^-)} = \frac{f(x)}{S(x-1)}
$$
其中$S(x)=1-F(x)$是生存函数。另外，对于离散分布，$S(x) = S(x-1)(1-h(x))$，且$f(x) = h(x)S(x-1)$。

你的期望可以改写为：
$$
\mathbb{E}\left[\frac{F(X)}{X(1-F(X))}\right] = \mathbb{E}\left[\frac{1-S(X)}{X S(X)} \cdot f(X)\right] = \mathbb{E}\left[\frac{1-S(X)}{X} \cdot \frac{f(X)}{S(X)}\right]
$$
结合危险率和生存函数的关系，$\frac{f(X)}{S(X)} = \frac{h(X)S(X-1)}{S(X)} = \frac{h(X)}{1-h(X)}$，因此期望进一步转化为：
$$
\mathbb{E}\left[\frac{1-S(X)}{X} \cdot \frac{h(X)}{1-h(X)}\right]
$$

或者更直观的：因为$F(x) = \sum_{k=X_{\text{min}}}^x f(k)$，所以这个期望本质上是危险率函数$h(x)$的加权平均，权重为$\frac{F(x)}{x}$。也就是说，危险率函数的特性直接影响这个期望的取值。

3. 若求和至$F(x)<1$，该期望是否有界？ #

不一定，这完全取决于分布的尾部衰减速度：

• 情况1：期望无界
  当分布的尾部衰减速度不足以让求和级数收敛时，期望会发散。比如几何分布：
  当$x\to\infty$时，$F(x)\to1$，$1-F(x)\approx(1-p)^{x$，此时求和项近似为$\frac{1}{x(1-p)}x} \cdot (1-p)^{x-1}p = \frac{p}{(1-p)x}$，这相当于调和级数的项，而调和级数$\sum_{x=1}^\infty \frac{1}{x}$是发散的，因此几何分布下这个期望无界。

• 情况2：期望有界
  当分布的尾部足够“厚重”（或者说求和项的衰减速度快于$1/x$）时，期望收敛。比如离散帕累托分布（$\alpha>1$）：
  当$x\to\infty$时，$S(x)\approx\frac{X_{\text{min}}^\alpha}{x\alpha}$，$f(x)\approx\frac{\alpha X_{\text{min}}^\alpha}{x{\alpha+1}}$，求和项近似为$\frac{1}{x \cdot \frac{X_{\text{min}}^\alpha}{x\alpha}} \cdot \frac{\alpha X_{\text{min}}^\alpha}{x{\alpha+1}} = \frac{\alpha}{x^{2}$，而$\sum_{x=1}}\infty \frac{1}{x^2}$是收敛的，因此期望有界。

总结：判断期望是否有界，核心是看当$x\to\infty$时，求和项$\frac{F(x)}{x(1-F(x))}f(x)$的衰减速度——如果这个项的衰减速度快于$1/x^{1+\epsilon}$（$\epsilon>0$），则期望有界；否则无界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joe